综合评估中加法模型的数学基础,本文是关于综合毕业论文的格式范文和综合评估和数学基础和加法模型有关大学毕业论文范文.
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摘 要加法模型是综合评估中常用的一种计算评估结果的数学模型.为了说明加法模型的数学基础,用Taylor 展开的方法对评估数学模型进行了研究,证明加法模型实质上是评估结果的一阶近似.在综合评估中,确定评估指标体系及其权重是应用加法模型的基础.指标的权重是人们的应用习惯,Taylor 展开对此是没有要求的.同时,也由于指标体系和权重的确定有各种不同的方法,导致综合评估的主观性和不唯一性.
关键词综合评估加法模型Taylor 展开指标体系权重一阶近似
1 引言
综合评估是一种半定量的评估方法.该方法是在对评估对象系统分析的基础上,根据系统内部状况、系统外部环境、系统管理等因素,从系统不同的侧面得到的数据,使用一定的数学模型来对对象作出综合评估[1].
在综合评估方法中,通常是采用对指标打分的方法进行的[2].这种做法使得综合评估既具有定性评估方法的简洁性的优点,又具有定量评估方法的数量性的特点,因此在综合评估方法在灾害风险评估[3,4]、信息安全评估[5]等方面得到了广泛的应用.
在综合评估中,通常是按照确定评估目标、分析评估对象、建立指标体系、确定指标权重、确定打分准则、建立评估数学模型等步骤进行的.其中,评估数学模型是一个重要的环节,涉及到评估结果的准确性.常见的评估模型有加法模型和乘法模型,其中加法模型在实践中被大量使用.但是至于为什么能这么做却了解不多.本文试图从数学的角度来探讨加法模型的理论基础.
2 综合评估模型
2.1 指标体系结构
综合评估是在评估目标的指导下,通过对评估对象的系统分析,确定了系统的组成要素和影响因素,建立一个能够从不同角度、不同侧面反应评估目的的指标体系[6].评估指标体系可以是单一层次的,也可以是多层次的.对于影响因素少的、简单的系统,可以建立单层次指标体系；而对于影响因素多,复杂的系统,则需要建立多层次指标体系.
2.2 指标权重
评估指标的权重表示某个评估指标在整个指标体系中的重要程度.权重越大的指标,表示其对结果的贡献越强；反之则对结果的贡献越弱.
指标权重的确定方法可以分为主观赋权法与客观赋权法两大类[7].主观赋权是凭经验、知识直接给出权重,如Delphi法、专家会议法等；客观赋权法则是按照某个准则通过计算得出各评估指标权重的,如层次分析法、熵权法等.其中最常用的是专家会议法和层次分析法.
2.3 数学模型
在建立评估指标和权重以后,依据确定的评估准则,对评估对象的各个指标进行打分,即将各个评估指标数量化,此后就可以采用一定的数学模型对指标进行合成,得到系统的综合评估结果.综合评估中最常用数学模型有加法模型和乘法模型两种形式[2].
对于单层次评估指标体系,计算过程比较简单,只需要一次计算就可以了.设评估系统有n 个指标,第i 个指标Fi的得分为xi,其权重为wi,按照加法模型,系统评估的结果为
因而乘法模型实质上是对数形式的加法模型.由于加法模型计算过程比较简单,也容易理解,因此在大多数的综合评估中,人们常采用加法模型.
而对于多层次指标评估系统,则需要从低层次依次向高层次计算.所以,不论综合评估的指标体系是多层次的还是单层次的,最后都可以转化为单层次的指标体系.为下文讨论方便,把评估模型统一用(1)式来表示.
3 理论解释
3.1 一般规律
加法模型的基本理念是用加权的方法来对多指标进行综合.我们知道,研究对象的评估结果肯定是存在的,设为R.为了能够把R 测量出来,需要对评估系统进行系统的分析,得到影响因素,例如x1 、x2 、…、xn 等,共有n 个影响因素.在数学上,可以认为R 是因变量,x1、x2、…、xn为自变量,R 可以写成
R等于R(x1、x2、…、xn) (4)
这就是综合评估的一般数学模型.在实际的评估中,需要把(4)式的具体形式用数学公式来表示.这个过程一般来说是非常复杂的,需要对系统进行深入的研究,了解系统的发生、发展过程,通常需要专业人员来完成.
3.2 描述形式
对于(4),用Taylor 展开的方法来近似,则评估结果可以表示为：
4 讨论
4.1 加法模型的近似性
从上面的推导中可以知道,加法模型实质上是评估结果R 在一阶近似下的计算公式.因此加法模型是可以使用的.在实际应用中,只要各个系数w1、w2、……、wn能够找到一个合适的数值,则加法模型在一阶近似下就是比较完善的评估模型.
4.2 指标的确定
在综合评估的加法模型中,有n 个自变量,每个自变量其实就是评估指标,也就是说评估的指标体系有n 个指标构成.
评估指标体系是进行综合评估的基础.评估指标确定是否合理,将直接影响评估结果的准确性.一般来说,评估指标体系的确定是建立在对评估对象相同分析的基础上的.
在实际应用中,n越大,近似的结果越好,评估结果越精确.但是n 大,对应的是指标多,在研究、分析时所需要的时间、费用也就越多.因此在实际工作中,强调在达到一定评估精度要求的前提下,指标体系要尽可能的简单.
4.3 权重因子的取值
评估结果R 的一阶近似虽然和加法模型公式在形式上是相同的,但是也是有区别的.在加法模型中,w1、w2、……、wn分别为指标x1、x2、……、xn的权重.既然是权重,那么权重的取值要满足非负性和归一化两个条件.非负性要求权重的值大于0,归一化要求权重之和为1.这两个条件是对加法模型中权重取值的限制.权重必须要满足这两个条件.否则,就不能用加法模型来确定计算结果.
而在R 的Taylor 展开一阶近似中,w1、w2、……、wn的取值没有非负性和归一性的限制,w1、w2、……、wn的取值既可以大于0,也可以小于0,和不要求为1.也就是说,R的一阶近似可以是任何形式的线性函数.
因此关于权重因子的取值限制是加法模型和Taylor展开式一阶近似的本质区别.在实际应用中,对权重的取值进行限制,主要是为了符合人们的习惯,若指标对评估结果贡献大,其系数取值就大,也即权重大.
4.4 评估结果的局限性
虽然综合评估的数学模型是有理论依据的,但是由于在评估中,评估指标的选择、指标权重的确定及评估模型的建立等常常需要依靠经验和专家来确定,不同的专家给出的选择标准和权重可能有差异,因此,综合评估的结论往往也可能带有一定的主观性,受主观因素影响较大.
同时,由于专家主观因素的影响,不同的专家对同一指标的打分不一定是完全相同的,因此在评估中,可能得出不同的结果,也就是说对同一评估对象,不同的评估专家,得到的评估结果不是相同的.这些都是综合评估的局限所在.
5 结论
加法模型本质上是综合评估结果的一阶近似,有坚实的数学基础,在理论上是成立的,在实践中也是可行的.
评估指标体系的建立是评估结果准确与否的关键.要在系统分析的基础上来建立评估的指标体系.一般来说,评估指标体系的大小要合适,不能太多,也不能太少.要把对评估结果贡献最大的指标找出来,就能够得到符合评估目标的要求.
评估模型中的系数原则上说可正可负,也不需要满足归一化的要求.但是在实际应用中,为了符合人们的思维习惯,建议还是按照权重的要求来确定系数,符合非负性和归一化的要求.
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