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符号论文参考文献：
周丹菊
【摘 要】数学教学不仅要关注具身认知,更要培养学生的数学符号意识.学生可以在情境中体会符号表达的抽象性、简约性,在操作中感受符号的间接性、通用性,学会用数学语言表达思想,培养逻辑思维能力.教师可以通过创设情境唤醒学生的符号意识,巧设推理过程发展学生的符号思维,开展实践活动,建构符号体系,让学生具有自觉的数学符号意识.
【关键词】数学语言；符号意识；思维能力
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）81-0045-04
【作者简介】周丹菊,江苏省淮安市天津路小学（江苏淮安,223005）教科室副主任,高级教师,淮安市数学学科带头人.
数学知识的学习往往是从具体到表象再到抽象的符号化过程.因此,符号语言成了数学学科的基本语言,它具有间接性、抽象性和通用性等特点.法国数学家让·迪多内在《论数学的进展》一文中强调,“引进好的符号”是促进学生数学发展的重要因素之一.在数学学习的过程中,学生时时刻刻都在与符号打交道,对数学符号的抽象、理解与运用构成了学生数学学习的重要内容,学生掌握数学符号、运用数学符号能力也应成为重要的教学目标.如何唤醒学生的符号意识,发展学生的符号思维,建构符号模型体系是广大教育工作者需要探索的一个重要课题.
一、数学符号意识的意蕴
（一）数学符号意识的内涵诠释
东北师范大学史宁中教授指出：所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号.数学的符号由数字、字母、图形、关系式等构成.符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所做出的一种主动性反应.[1]笔者认为,数学符号意识是学习者在数学思维的引导下,运用对数学符号的感知、理解、运算与推理来解决数学问题的一种核心素养.
（二）数学符号意识的特征
1.数学符号意识的形成具有阶段性.
数学符号意识的形成具有阶段性特征,应该关注数学符号意识的演化机制,确保学生在积累数学活动经验的基础上,经历与反思符号表征、体验与感悟数学理解与思想方法.符号意识应表现出“生”和“成”两个阶段.“生”的阶段是学习者在探究活动中对符号意识的科学认识、感悟与反思阶段；“成”的阶段是学习者用符号化的思维思考问题,用恰当的符号表征分析问题,用适切的符号表达、解释问题的阶段.
2.数学符号意识的形成具有层次性.
符号意识来源于现实世界,学生主要通过对客观事物的抽象而形成符号表征,再借助符号表征形成符号化思维,进而从符号化的角度思考问题,形成数学思想方法.“符号表征—数学思维—符号思考—思想方法”的转化,必将超越原有的符号认知水平,正是因为这种层次性的特征,才使得培养学生的符号意识成为可能.
3.数学符号意识的形成具有主体性.
儿童心理学家皮亚杰指出,整个认识关系的建立,既不是外物的简单摹本,也不是主体内部预先存在的独立显现,而是包括主体与外部世界在连续不断的相互作用中逐渐建立起来的一个结构集合.数学符号意识的生成是学习者在经历实践活动中的经验、感悟与反思的积极心理倾向.因此,在实际问题的解决过程中,学生就会带有符号的倾向性与符号化的思维模式.可见,数学符号意识的形成包含着人的主体能动性.
4.数学符号意识的形成具有实践性.
数学符号意识的形成是学习者将客观事物抽象出符号特征,达到思维提升的过程.只有经历实践过程,才能检验学习者数学符号意识的生成程度,验证思维成果的对与错.所以,在数学符号意识的生成过程中,思维与实践是相辅相成的,学习者只有积极参与各种实践探究,才不会使符号意识的实践操作成为“纸上谈兵”.
（三）数学符号意识的教学价值
1.符号意识有助于儿童数学思想的表达.
符号作为数学的独特语言具有抽象性、简约性.通过数学学习把生活语言转化成数学语言,运用简洁的符号语言有利于帮助学生完整、精确地描述数学信息,表达数学思想,展现数学语言的魅力.
2.符号意识有助于儿童逻辑思维的培养.
数学是一门抽象的学科,符号的形成是学生在经历“感知具体事物—个性化的表达—数学地表示”这样一个符号化、形式化的过程.而学生解决问题的过程,便是学生数学表达经历“日常语言—符号意识—符号思考”的过程,这一过程让学生的逻辑思维得到有效的培养.
3.符号意识有助于儿童创造能力的提升.
符号是对客观事物抽象的结果,学生对符号的认识是基于对事物的本质理解而创造出来的.学生在创造各种符号的过程中对数学的理解更加深刻,学生的创造力也能得到提升.
二、数学符号意识的策略探寻
符号意识实际就是学生积极主动运用符号的意识,因此,符号意识的培养应该经历记忆模仿—推演抽象—理解应用的“生”与“成”过程.在这个过程中,学生能够积累运用符号的数学活动经验,感悟符号蕴涵的数学思想本质,从而促进符号意识的提升.
（一）以情境为载体,唤醒符号意识
1.现实场景抽象化,从实物到图形,萌发符号意识.
由于身心发展水平及认知能力有限,低年级的学生还不容易接受比较抽象的知识.因此,在促进儿童符号意识形成的最初阶段,应该尽可能地让他们从现实的场景中,经历由浅入深、循序渐进的过程,让学生在脑海中建立客观事物与符号抽象之间的联系,将数学符号有效内化.
例如：教学苏教版一上《数数》时,教师可以先出示游乐园的场景图（如图1）,引导学生数一数图中的物体,再提醒学生关注实物图下面的圆点,思考其表示的数学意思,最后鼓励学生动手画出数学符号来表达数量.
由图形到符号,学生逐渐体会到图形符号与物体的数量关系,为学生创造符号、运用符号表达思想奠定了基础.
2.表达方式个性化,从繁杂到简约,体会数学符号的意趣.
学生在现实生活中会接触到很多符号,教师应善于启发,唤醒学生记忆中的符号表象.例如：教学苏教版一上《认识图形》后,教师可以设计解决问题的习题：一张全家福的照片中有5个大人排成一排,每相邻2个大人中间有1个小朋友,照片中一共有几个人？
师：你会怎么解决这个问题呢？
生1：我们可以上去排排队吗？
师：当然可以.男生代表大人,女生代表小朋友,看看到底一共多少人.（得出9人）
生2：还可以画图解决（如图2）.
（图2）
师评价：画得不错,能不能表示得简单点儿呢？
生3：可以画大圆圈和小圆圈来分别表示大人和小朋友（如图3）.
生4：我想画正方形和竖线（如图4）.
（图4）
从真实的数学情境到个性化的图片,再到圆点、竖线等简单的数学符号,学生对符号的理解愈加深刻,数学符号意识逐步生成.
（二）经历抽象过程,培养符号思维
1.借助数学文化史,从一般到特殊,感受数学符号的魅力.
数学语言具有简洁美,同样具有独特美.对于某些专属符号表征,可以在学生经历探究、抽象的过程中引入数学文化来介绍符号的由来,让学生了解数学史的悠久,感受数学符号的趣味.
例如：教学苏教版五下《圆的周长》时,可以先让学生经历探索和讨论,知道“任意一个圆的周长都是它直径的三倍多一些,这是一个固定不变的数,这个数叫作圆周率”,继而借助数学史上数学家关于π的研究过程,介绍数学家的小故事帮助学生理解π的由来及其独特性,并结合符号与现实生活的联系感悟它的无限不循环性,在此过程中让学生认识到π是一个无理数,是一个常数,是一个能表示固定常数的字母.
2.创新探究表达方式,从感性到理性,发展学生的符号思维.
在解决问题中,学生可以自主选择合理的、方便的符号表达方式,但在探究过程中,学生不仅要关注解决数学问题本身,更应注意符号表达是否合理,思维结构是否完善.因此,只有以数学知识为载体,借助符号理解深化对数学本质的认识,学生的视野才能得到拓展,知识结构才能网络化,符号思维才能有深度与广度.
例如：教学苏教版五上《用字母表示数》时,教师可以设计唱“数青蛙歌”的活动：1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿……当学生唱不下去时,教师适时指导.
师：每只青蛙1张嘴、2只眼睛、4条腿.每只青蛙眼睛、腿的个数分别是嘴的2倍、4倍,青蛙的个数就是嘴的个数.用什么方法可以表示出任意只青蛙,且将青蛙的只数与它的嘴、眼睛、腿的数量关系表达清楚呢？
生1：我们可以用字母表示.n只青蛙,n张嘴,n只眼睛,n条腿.
生2：不对,如果是n只青蛙,那么青蛙就有n张嘴,2n只眼睛,4n条腿.
《字母表示数》这一课对发展学生的符号意识起着关键性作用,它促进了学生抽象思维能力和代数思想的一次提升,让学生真正地理解了符号所表达的意义,让学生思维结构更加完整和缜密.
（三）活用数学符号,建构符号体系
对数学符号既要“弄懂”,更要“会用”.理解数学符号,关键是对其内涵及外延的正确把握,而学生往往受数学符号形式的困扰难以甄别.因此,在解决问题的过程中,要注重符号的理解,使运算意识达到符号化思考的自觉程度.
1.强化体验重感悟,从隐性到显性,促使符号意识模型化.
数学知识具有显性和隐性的特征,间接接受的多为显性知识,它是数学理解的源泉,而学习者在经历感悟的过程中获得的数学理解、建立的数学模型等隐性知识才是提升学生数学素养的关键.例如：教学苏教版五下《认识方程》时,教师可以设计“天平称物”的活动引入教学.
师：观察天平,你有什么发现与思考？（出示天平图：左边一个樱桃和5克砝码,右边10克砝码.）
生1：天平指针在中间,说明两边质量相等.
生2：一个樱桃加5克砝码的质量等于10
克砝码的质量.
师：能用一个式子表示出来吗？
生3：一个樱桃+5等于10
师：如果不知道有多少个樱桃,可以用什么符号来表示呢？
生：用x来表示：x+5等于10.
师：如果一个装有2000毫升水的水壶,
刚好倒满2个热水瓶和一个200毫升的杯子,它们的关系又可以怎样表示呢？
…………
数学符号意识的培养需要让学生在知识形成的过程中去感受符号.学生通过天平称物、水壶倒水等情境理解了字母x在不同数学情境中的数学意义,完成了从数量关系到符号表达的抽象过程,学习者通过举一反三,建立起数学符号表征之间的交错联系,体会到方程是刻画等量关系的重要模型.
2.深化知识的理解,从会用到活用,挖掘并渗透数学思想.
培养数学符号意识的最终目的是为了更好地解决生活实际问题.运用学生已有的符号意识激发其符号化地思考,有利于帮助学生在推理表达的过程中运用符号语言,进而揭示问题的一般性和普遍性规律.
例如：教学苏教版五上《用列举的策略解决实际问题》时,笔者曾创设过这样一个生活实际问题.出示午餐菜谱：鱼、肉圆、白菜、豆腐、土豆.
师：老师的午餐如果是一个荤菜和一个素菜搭配,一共有几种不同的搭配方法呢？
生1：我先选荤菜,再选素菜,这样搭配：鱼配白菜、鱼配豆腐、鱼配土豆、肉圆配白菜、肉圆配豆腐、肉圆配土豆,一共有6种方法.
生2：我先选素菜,再选荤菜,也有6种不同的搭配.
生3：我也是先选荤菜的,不过我用A、B代表荤菜,a、b、c代表素菜,用搭配图看得更清楚（如图5）.
师：你们觉得他们的方法怎么样？
生4：我觉得用图表示能够清楚地看出搭配的结果,而且用字母表示菜名比写字要快得多.
在解决配菜问题的过程中,不仅渗透了有序搭配的思想方法,同时也引导学生进行符号化的思考.学生经历了从语言表述到图形表示,再到符号化表达的过程.在教师的引导下,学生发现搭配其实是有规律可循的,只要做到有序就不会重复、遗漏.学生在经历了从无意识地简化搭配路线图到有意识地发展数学符号思想的过程,这是学生自主建构数学符号模型的过程,它丰富了学生的符号模型体系,推进了学生数学学习符号化进程的发展.
儿童具有发现、创造数学的无尽潜力,当儿童真正对数学产生强烈的兴趣、牢固的信念时,就会爆发出学习数学和创造数学的原动力.符号意识的培养助力儿童积极主动地认识现实世界与符号表征之间的联系,并通过符号理解、符号运算、符号思考解决实际问题.学生在长期的数学学习过程中孕育成长,核心素养的积淀才更具有综合性、整体性和持久性.
【参考文献】
［1］史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社,2012.
［2］朱立明,胡洪强,马云鹏.“数学符号意识”研究：要素、特征与策略［J］.中小学教师培训,2017（4）：45-49.
［3］王晓峰.在数学实验中发展学生的符号意识［J］.中国数学教育,2015（21）：7-10.
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谈培养学生数学符号意识的策略
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