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辅助函数在证明不等式中的应用
袁晓华
（郑州工业应用技术学院 基础教学部,河南 郑州 451100）
摘 要：辅助函数在高等数学不等式的证明中有着广泛的应用,选择合适的辅助函数可以帮助学生将问题简单化,解决数学中的难题.本文通过具体的数学例子介绍辅助函数在不等式中和恒等式中的应用,对辅助函数的证明做简单的介绍.
关键词：辅助函数；证明；不等式
在数学证明中经常用到辅助函数,国内其他的研究者也对辅助函数在证明中的应用进行了研究,但是他们对于辅助函数在不等式证明中的应用没有进行详细的论述,本文通过具体的例子来介绍辅助函数在不等式中的应用,从而为关注这一话题的人们提供参考.
一、辅助函数在证明不等式中的应用
首先我们介绍一下证明不等式的步骤：
（1）做辅助函数F(x)；
（2）求F(x)的导数F′(x),在判别它的符号.如果F′(x)>0则函数是单调增加,如果F′(x)<0则函数是单调减少；
（3）求函数在区间端点的函数值或端点的函数极限值.其中至少一个为零或已知符号为正或为负；
（4）根据第2步和第3步可得解.
关键在于辅助函数F(x)的做法,怎么做呢？
（1）如果函数为不等式,通过移项（或先做恒等变换再移项）,使不等式一端为0,另一端就为辅助函数F(x)；
（2）如果为文字不等式（为a,b,c）则观察哪个文字在不等式中出现的次数最多,就把它改为x,再移项使不等式一端为0,另一端为辅助函数F(x)；
（3）如果为数字不等式,观察哪个数字出现最多就把它改为x,再移项使不等式一端为0,另一端为F(x)；
（4）对于某些特殊的不等式,可以采用形式法,即作出与不等式两边类似的辅助函数F(x),利用它来证明.
（一）函数不等式
二、结语
利用辅助函数证明不等式有一定的难度,这需要我们根据不等式的具体形式和有关的定理,构造出满足条件或结论的辅助函数,从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的辅助函数中清晰地展现出来,并借助数学工具方便快速的解决数学问题.
参考文献
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