分段函数在微积分教学中的应用举例,本文是微积分相关论文范文文献和微积分和微积分教学和函数相关毕业论文开题报告范文.
微积分论文参考文献：
脱秋菊
（山东财经大学数学与数量经济学院,山东 济南 250014）
【摘 要】分段函数大部分不是初等函数,在分段点处有不同于一般初等函数的分析学讨论方法,在微积分教学中,灵活运用分段函数举例,能加强学生对概念的理解,提高学生综合运用知识的能力.
【关键词】分段函数；微积分；教学；应用举例
在函数定义域的不同部分,因变量与自变量之间的对应关系不同的函数,称为分段函数.例如：y等于｜x｜,y等于[x],y等于sgnx等是常见的比较简单的分段函数,实际生活中快递费用随快递地区及重量区间的改变而改变,个税随着收入的区间不同而有不同的税率等都是常见的分段函数.
分段函数在分界点左右两侧有不同的定义,在微积分教学中,灵活运用分段函数举例,对理解单侧极限,单侧导数,连续,可导,原函数的存在性,可积性,偏导数,可微性等概念发挥着重要作用.
下面就分段函数在微积分教学中作用举例说明.
一、一元函数微积分学
1.分段函数在分段点处的极限
由函数极限的定义知,,所以分段函数在分界点处的极限需通过讨论在该点两侧的单侧极限来确定.
由以上两例看出,函数在分界点处的极限仅与函数在该点两侧的变化趋势有关,与函数在分界点处有无定义及函数值无关.
2.分段函数在分段点处的连续性
从此例看出,讨论分段函数在分段点x0处的连续性,必须满足：函数在x0的某邻域内有定义,函数在x0点的左右极限均存在且相等,在x0点的极限值等于函数值,这三条中其中任何一条不满足,则x0点为函数的间断点.其中,左右极限均存在但不相等的点称跳跃间断点,左右极限存在且相等但不等于函数值的点称可去间断点,左右极限中至少有一个不存在的点称为第二类间断点.
3.在分段点处的可导性
函数在某点可导的充要条件：函数在这点的左导数等于右导数.根据导数的定义,导数是函数改变量与自变量改变量比值的极限,所以某点的导数是否存在和函数在这点左右两侧的定义,函数在该点的函数值均有关,还取决于两个增量比的极限.在例2中,补充函数在x等于0的定义,令f(0)等于1,则函数在x等于0点连续.
例4f(x)等于2x, x>01, x等于01+x2, x<0讨论函数在x等于0点的可导性.
4.分段函数的原函数存在定理
分段函数,如果在分段点处连续,则根据原函数存在定理,定义在某区间上的连续函数一定存在原函数.
解 设f(x)存在原函数F(x),则F′(x)等于f(x),
当x<0时,F′(x)等于f(x)等于0所以F(x)等于C1,当x>0时,F′(x)等于f(x)等于0,所以F(x)等于C2,又因为F(x)可导,所以F(x)连续,所以F(0-0)等于F(0+0),所以C1等于C2,所以F(x)等于C,所以F′(x)等于0,所以有F′(0)等于0与F′(0)等于1矛盾,所以f(x)不存在原函数.
在此例中,x等于0是函数的可去间断点（第一类间断点）,从此例看出含有第一类间断点的函数不存在原函数.
此例略作修改,计算
例f(x)等于0 x≠01 x等于0在区间[0,1]上定积分.
解f(x)dx等于0.
对于定积分,含有有限个间断点的有界函数在区间[a,b]上是可积的.因为定积分和不定积分虽然联系密切,但二者的概念是完全不同的,从几何意义上看,定积分表示以f(x)为曲边,以[a,b]为底的曲边梯形的面积,f(x)有有限个第一类间断点,不影响曲边梯形面积的计算,而f(x)如果含有第一类间断点,其原函数是不存在的.再看这样一个例子：
计算分段函数定积分时,要注意区分定积分在不同的取值范围内函数的定义不同,一定要分别计算其定积分.
从以上几例看出,分段函数和一般的初等函数不同,在分段区间内一般用初等函数的方法去讨论,但在分段点处,有独特的讨论方法.学生初学时,经常感到迷惑.不易掌握.我们在教学中,要利用分段函数的独特性质,灵活的加以举例,加强学生对这些基本概念的理解和掌握,提高综合运用知识的能力.
二、多元函数微积分
多元函数微积分学中连续、偏导、微分等概念与一元函数类似,但有着实质区别,它们之间的关系比较复杂,不易掌握.
1．偏导存在但不可微
从这两个例题看出,二元函数在一点的连续,函数在这点的偏导数可能存在,也可能不存在,这和一元函数导数存在必连续不同；同样,二元函数偏导存在不能保证函数可微,但函数在一点可微,则其偏导必存在,但不一定连续.所以偏导存在是可微的必要条件,偏导存在且连续是可微的充分条件,二元函数的可微性,我们仅得到其必要条件和充分条件,没有像一元函数可导即可微那样的充要条件.
类似的例子还很多,不再一一列举.从这些例子看出,在微积分教学过程中灵活运用分段函数举例,可增强同学们对概念、定理的理解,提高解决实际问题的能力,起到事半功倍的效果.
【参考文献】
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（山东财经大学校级教学研究和教学改革立项项目（Jy201447））
综上资料，此文为适合不知如何写微积分和微积分教学和函数方面的微积分专业大学硕士和本科毕业论文以及关于微积分论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料.
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