人口预测数学模型分析,本文是数学模型方面论文写作参考范文与数学模型和人口和预测类毕业论文格式范文.
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摘 要：解决人口问题对国家的稳定和社会经济的发展都有很重要的作用,因此学术界一直以来都十分关注人口预测的研究课题.本文首先选取Logistics模型对人口规律进行了描述,对未来5年的人口进行预测,再运用灰色系统GM(1,1)模型对我国的人口进行了中短期的预测.引入Leslie模型,根据需要将育龄妇女生育率进行归一化,定义了年龄别水平,利用matlab软件对增长矩阵进行有限次的迭代,预测出来我国的人口高峰达到的时间,并会在之后的一段时间里趋于稳定.
关键词：人口预测；数学模型；分析
一、人口预测数学模型
人口预测方法体系中的数学和统计学方法一直被学术界沿用至今,下面根据研究结果分别选定Logistic模型对我国人口做短期预测；对我国人口进行中期预测时选定了灰色GM(1,1)模型；长期预测则由Leslie模型来完成.
1.Logistic 模型
Logistic 模型的原型是Malthus模型：学术界的增长矩阵选择灰色GM（1,1）模型预测人口的自然增长率为固定值,即单位时间内的人口增长与人口成比例.并且假定人口的增长按照指数增长的函数进行；
其模型的离散形式为：
然后进行Logistic 模型误差分析.我们通过统计年鉴等工具得到了相应的年代的人口的统计数据,然后利用matlab软件对数据进行处理后,得到了预测值,为了更好做误差分析,先定义误差率为d,预测值为a,真实值为c,然后根据公式求得误差率.
根据中国统计年鉴可以得到1989年到2005年年末的实际总人口总数,然后与函数预测的数值进行计算,我们可以得到相对应的误差率.可以得出随着时间的增长Logistic模型的误差率波动呈上升的趋势,但是该模型在短时间内的误差值比较小,2008 年以后的误差率的数值是呈直线上升的趋势,所以我们可以用Logistic 模型对我国的人口总数进行短时间内的粗略预测并以此对2018 到2023年的人口总数进行预测.
根据数据推测出未来五年全国人口的总数分别为13.25亿、13.31亿、13.42亿、13.47亿和13.52亿；并且全国的总人口在未来趋近14.125 亿．但是由误差率合一看到,Logistic模型适用于短期的预测,在中长期的情况下预测的效果不是很好,原因是在现代影响人口增长的因素有很多,除了环境的承载能力,还要受包括医疗水平提高、人口政策的变化,甚至是战争、生育观念等因素影响,而这些都不会在数据表面体现出来,Logistic模型在这方面的缺乏降低了人口预测的精确度.
2. GM(1,1)模型的建模与预测
灰色模型进行长期的预测时候,时间序列长短和数据的随机波动都会对预测造成误差,因此,通过对数据进行等维递推的方法一定程度上可以消减灰色的区间,提高预测精度.等维递补方法的原理：首先按照已有的数据列X1建立灰色模型并且预测出第一个数值,再将这个值添加到X1之后的同事间去除X1的第一个数值,让它一直保持着等维度,然后再预测下一个数值,以此类推,直到达成预测精度并完成预测目标.然后用matlab 套用灰色模型的公式进行拟合并建模,为编程方便,将时间相应方程简化为x（1）k+1等于d exp（ a k）+c,根据程序输出的结果得到原始时间响应方程,然后根据上诉方程预测2008 年到2016年的人口数据.并用matlab求出模型的后验差比值C等于0.0059468506和小概率的P 等于 1.将C值和P值与原数值进行对比,得出该模型的拟合的精度等级为好,且可以从上表看到其相对误差的变动范围基本维持在0.1%之间．这些可以进行接下来的人口预测.根据上述得到的时间相应方程用matlab进行数据处理,得出我国2017 年到2052 年人口预测值.
2017年的预测值是13.67 亿,并以线性的趋势持续增长,到2023年是14.078亿,2033年为14.78亿,2050年突破了16 亿.从误差检验上看,灰色模型在短期和中期的预测效果非常好,要优于Logistic模型,但是从预测值整个变动的趋势上看,它的拟合值是呈现直线增长的方式并且长期发展下去,仅以单人口的因素进行推算而没有考虑其他因素,这个是本模型的缺点,所以可以肯定地说灰色系统模型不适合人口长期发展的预测,其误差也会随着时间的推移而逐渐增大.
3.人口增长的长期预测Leslie 模型
Logistic 模型能够较好地反映短期人口增长的规律,但是限制的条件也很多,对长期的预测肯定不符合现实,因此本文引入第三个模型,Leslie 模型进行人口增长的预测.
Leslie模型按照年龄、性别、层次、等人口结构因素的角度对人口发展进行预测,较为全面地对未来的人口的走势做出较为准确的预测分析.且该模型的程序不复杂,能够解读出数据的信息,层次清晰,易于在matlab软件上进行操作.
Leslie模型还综合考虑了年龄别死亡率、年龄别生育率等人类自身的因素对人口发展的影响,模型的可扩展性很强,能够适应多种情况下的预测,在地域范围较大的预测中是一个很好的模型.
建立和求解Leslie模型：将人口按年龄分组,并且只考虑女性的人口数量；年龄的分组与离散化相对应,记时刻t 第i 年龄组的女子标准化后的生育率水平为H(i),平均存活率为s(i).且当生育模式是一定时,H(i)和s(i)不随时间t的改变而改变,可以通过对统计的资料进行一定的处理后得到.
用向量X（i,t）表示t时刻年龄组i的人数,则X（i,t）的变化遵循以下的规律：时间有t变化到t+1 时,第i组的人的平均存活率s（i）转移到i+1组：
X（i+1,t+1）等于 s（i）X（i,t）,i 等于0,1,2,死亡率包括表上的年龄和实际的年龄死亡率,这两者不一样,但两者非常接近,因为死亡水平是一个连续的年龄函数,所以随着年龄的不断变化,这两个变化,实际观察到的死亡水平M只能是某一个时期某个年龄段的情况.查资料可得年龄别死亡的水平Mi与年龄率S（i）有如下的关系S（i）等于e Mi ,设R 为尚存矩阵.我们可以根据2001 年到2005年城、镇、村的年率别存活率取平均得到尚存矩阵.
对于城市、镇、乡的各个生育水平我们可以根据其各自的特点分别取1.5、1.8 和2.1；则我们可以对数据进行处理后得到出生矩阵.
由于Leslie 模型的预测矩阵G等于R+B,即尚存矩阵和出生矩阵之和,于是根据模型设定：X（i+1,k+1）等于GX（i,k）,则总的人口数量为p（k）等于i等于090X（i,k）.
用matlab软件对搜集的数据进行处理可以得出中国人口的高峰将在2026年左右达到,其峰值约为14.5亿.然后,中国的人口将在2070 年左右会趋于稳定值13.5 亿.
检验模型的误差率,得出平均误差率为：0.978%；故Leslie模型的预测情形比较准确.
二、其他常见的人口预测模型
1.多元回归模型
人口的增长受到很多不同的因素制约,不仅与人口本身、经济环境因素有关,还与教育因素、政治因素、环境因素有关.以人口发展为因变量,其他因素为变量,从而依据人口与其相关因素的线性关系来对未来的人口状况进行预测.其模型为Y等于 0+ 1X1+ 2X2++ NXN+ ,其中人口规模为Y,X1 ,X2 , ,XN为因变量,通过最小二乘法(OLS)来估计参数0,1, ,N,,这就是多元回归模型.
2.非参数自回归模型
由于多元回归模型的参数例如人口增长率都是固定的,所以多元回归模型人口预测的长期效果不是很好.非参数自回归模型因其参数的灵活性和多变性,在很大程度上弥补了多元回归模型这方面的缺陷.非参数回归模型(NARCH(p))的建模思路为Yt 等于m（Xt）+Rt.
多元回归的模型比较简单,很容易上手.它将人口增长的各种影响因素放在一起考虑,然后对人口的总量进行线性或者非线性的回归.它给人们一个全新的视角来看到人口预测这个问题.但是由于人口增长的影响因素很多,且各自所占的权重也不好判断,所以很难将其全面的列举出来进行定量的分析研究.回归模型的侧重点在于横向的定量分析.
三、结论和展望
本文从数学模型的角度出发,结合当前学者对人口预测的相关研究和相关的书籍,首先简单的阐述了关于人口预测的含义、现状分析和国内外的研究情况.结果显示,Logistic能在一定程度上反映人口总量的增长情况,但其局限性较大,例如它排除了人口减少的可能性、限制人口生育的原因等.实验拟合的数据和现实数据的对比显示出Logistic 模型在中长期人口预测的误差较大,短期预测则较为准确.第二个实例灰色GM(1,1)模型对数据的要求很低,能够找到数据的强规律并进行拟合.第三个Leslie模型充分考虑了不同年龄的出生和死亡概率,并利用已有的数据通过生长矩阵迭代生成新的生命表,根据寿命表预测年龄和年龄结构.与Logistic模型和灰色GM（1,1）模型相比,莱斯利模型的分析预测更为全面.实验数据与现有数据的拟合度较高,非常适合于人口的长期预测.
（责任编辑：兰卡）
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