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数学思维相关毕业论文提纲范文 与关注数学思维过程,突出学生主体地位《等比数列前n项和公式》教学和实践有关毕业论文提纲范文

主题:数学思维论文写作 时间:2024-01-01

关注数学思维过程,突出学生主体地位《等比数列前n项和公式》教学和实践,本文是数学思维相关电大毕业论文范文和思维和《等比数列前n项和公式》和主体地位方面论文范文资料.

数学思维论文参考文献:

数学思维论文参考文献 小学数学教育杂志数学小论文三年级中学生数学杂志南朝祖冲之撰写的数学论文集是

叶远婷(江苏省无锡市立人高级中学,214000)

摘 要:引导学生回顾等差数列前n项和公式、等差数列通项公式以及等比数列通项公式的推导过程和方法,站在数列知识系统的高度上分析过程之间的联系,认识方法共通的本质,进行类比迁移,从而发现等比数列前n项和公式的推导过程与方法,理解错位相减法的由来和作用,可以较好地突破这一教学难点.等比数列前n项和公式的应用关键是区分情况选择形式.对此,可以设计一个基本量问题和一个整体性问题,引导学生熟悉公式的使用和变化.

关键词:数学思维 学生主体 等比数列前n项和公式

一、教学思考

公式课是高中数学教学中一种很普遍的课型,不仅要让学生熟练运用公式,而且要让学生理解公式的推导过程与方法.为此,教师要关注数学的思维过程并突出学生的主体地位,真正做到“授人以渔”“授人以欲”.

等比数列前n项和公式的推导一直是教学的难点:放手让学生探究,学生往往毫无头绪;直接引入错位相减法,则会使学生被动接受、难以理解;如何突出思维过程,帮助学生自然地想到错位相减法,需要用心设计.笔者认为,引导学生回顾等差数列前n项和公式、等差数列通项公式以及等比数列通项公式的推导过程和方法,站在数列知识系统的高度上分析过程之间的联系,认识方法共通的本质,进行类比迁移,从而发现等比数列前n项和公式的推导过程与方法,理解错位相减法的由来和作用,可以较好地突破这一难点并让学生获得更深的领悟.

等比数列前n项和公式的应用关键是区分情况选择形式.对此,可以设计一个基本量问题和一个整体性问题,引导学生熟悉公式的使用和变化.在教学过程中,尤其要注意让学生对问题进行拓展、改编和归纳、总结,从而既突出学生的主体地位,让学生积极参与课堂,迸发智慧火花,体会探究乐趣,又强化数学的思维过程(变与不变),让学生“做一题,会一类”,加深对公式的理解和应用.

二、教学实践

(一)公式推导

师数列an等于3n是什么数列?你能求出前3项和吗?前100项和呢?

生等比数列.S3等于3+9+27等于39.S100不能用这种方法求解,可以去寻找公式.

师这明确了我们这节课的主要任务:寻找一般等比数列的前n项和公式.

(教师板书课题.)

[设计意图:在学生原有的数列知识结构上,以一个简单的例子引起学生对等比数列求和方法的思考以及对等比数列求和公式的需求,引出课题.]

(教师出示问题1.)

问题1基于我们对数列知识的了解,你能猜一猜等比数列的前n项和公式可能会用哪些量来表示吗?你的依据是什么?

生等差数列和等比数列的通项公式都是用基本量表示的,等差数列的前n项和公式也是用基本量表示的,所以我猜想等比数列的前n项和公式也是用基本量,即首项、公比、项数(或末项)来表示.

师那么接下来我们将探究如何表示等比数列的前n项和.回顾我们已经学过的数列方法,它们是否适用于等比数列的求和呢?

(学生提出求等差数列前n项和的倒序相加法、求等差数列通项的累加法、求等比数列通项的累乘法.教师引导学生尝试、讨论,发现无法通过它们得到等比数列求和公式.)

师回顾这些方法的求解过程,它们的共同特征是什么?

生消掉中间项,使得项数越来越少.

师观察等比数列的特点,前面的项乘以公比就是后面的项.利用这一关系,怎样能够消掉中间项,使得项数减少呢?

生将Sn等于a1+a1q+…+a1qn-1两边同时乘以q,得qSn等于a1q+a1q2+…+a1qn.再将两式相减,就可以消掉中间项了.

师两式相减得(1-q)Sn等于a1-a1qn,目标出现啦!

生再将两边同时除以1-q,得到Sn等于a1-a1qn1-q.

师真的可以直接除吗?

生不行,当q等于1时不可以,要讨论.

师当q等于1时,Sn等于na1;当q≠1时,Sn等于a1(1-qn)1-q等于a1-anq1-q.在推导等比数列前n项和公式时,将Sn等于a1+a1q+…+a1qn-1两边同时乘以q,使得右边式子中的每一项变成它后面的项,即产生与原来式子中相同的项,再相减消去相同的项,这种求和方法称为错位相减法.而在公式的推导中,还要注意过程的严密性,利用分类讨论思想.(稍停)为何乘以q?q表示什么?

生q表示公比,乘公比可以将每一项变成它后面的项,从而做减法消去中间项.

师请同学们课后思考还有哪些方法可以推导等比数列的前n项和公式.

[设计意图:本节课是公式新授课,公式推导过程和方法的自然引入是本节课的难点.这里,立足学生的已有知识,引导学生回顾等差数列前n项和公式、等差数列通项公式、等比数列通项公式的推导过程与方法,发现其中的相同之处为消去中间项,使得项数减少、结果简单,从而获得等比数列求和公式的推导思路和方向——减少项数,消元.]

(二)公式应用

师运用等比数列的求和公式时应注意区分和选择:首先区分q是否为1;其次在q≠1时,选择使用公式Sn等于a1(1-qn)1-q还是Sn等于a1-anq1-q.

(教师出示例1.)

例1在等比数列{an}中,已知a1等于1,ak等于243,q等于3,求Sk.

生Sk等于a1-akq1-q等于1-243×31-3等于364.

师你可以求出k吗?

生由Sk等于a1(1-qk)1-q等于364代入得1-3k1-3等于364,则k等于6;也可以由ak等于a1qk-1等于243代入得3k-1等于243,则k等于6.

(教师出示变式.)

变式在等比数列{an}中,已知ak等于243,q等于3,k等于6,求Sk、a1.

生由ak等于a1q5等于243得a1等于1,所以Sk等于1-q61-q等于364.

师利用例1中的量,你能尝试改编得到其他变式题目并求解吗?

生在等比数列{an}中,已知a1等于1,Sk等于364,q等于3,求k、ak.

生Sk等于1-3k1-3等于364,所以k等于6,所以ak等于a1q5等于243.

生在等比数列{an}中,已知a1等于1,Sk等于364,求k、q.

生Sk等于1-qk1-q等于364,有两个未知量,故无法解答,需要再增加条件.

师那你能增加条件吗?

生需要增加条件ak等于243,才可以求出k、q.

师还能继续进行改编吗?从改编的过程中,你能得出什么结论?

生只要知道a1、an、q、n、Sn中的三个量,就可以求出其他量.

师对于等比数列通项公式和前n项和公式中涉及的基本量a1,an,q,n,Sn,只要知道其中三个,便可以求出另外两个,称为“知三求二”.

(PPT投影表1,引导学生进一步体会“知三求二”.)

生已知条件不同,选择的公式也有所区别:当知道末项时,选择公式Sn等于a1-anq1-q;当知道项数时,选择公式Sn等于a1(1-qn)1-q;当q未知时,要分类讨论.

[设计意图:例1是基本量问题,是等比数列前n项和公式的直接(简单)应用.教学的关键是让学生通过引导和自主思考对题目进行变化与归类,认知这一类问题的本质.同时,学生尝试自主编题、解题,深度参与课堂,不断思考总结,提高了学习效率.]

(教师出示例2.)

例2在等比数列{an}中,S3等于72,S6等于632,求an.

生代入公式S3等于a1(1-q3)1-q等于72,

S6等于a1(1-q6)1-q等于632,(思考片刻)两式相除得1-q31-q6等于19,换元令t等于q3,则1-t1-t2等于19,故t2-9t+8等于0,所以t等于1或者t等于8.在等比数列中,q3等于8,所以q等于2.

生我觉得在用公式之前需要讨论题中的q是否为1,因为我们并不清楚该用哪个公式,不能直接套用公式.

生当q等于1时,S6等于2S3,这与题中条件“S3等于72,S6等于632”矛盾.当q≠1 时,S3等于a1(1-q3)1-q等于72,

S6等于a1(1-q6)1-q等于632,两式相除得1-q31-q6等于19……

师很好!等比数列求和公式的使用要注意分类讨论公比q.

生老师,我们也可以避免讨论,因为S6-S3q3等于S3,代入数据632-72q3等于72可得q等于2.

师你能具体分析S6-S3q3等于S3吗?

生因为S6等于a1+a2+…+a6,S3q3等于(a1+a2+a3)q3等于a4+a5+a6,所以S6-S3q3等于S3成立.

(其他学生若有所悟,感叹不可思议.)

师太棒了!这个方法完美地避开了讨论公比q是否等于1的情况,利用等比数列的性质解决了问题.还有其他方法吗?

生S6-S3等于a4+a5+a6等于28,

S3等于a1+a2+a3等于72,两式做除法得a4+a5+a6a1+a2+a3等于8,所以q3等于8,q等于2.

师这两种方法本质上是一样的:利用等比数列的性质简化计算.一题多解,方法多样,从不同的方法中巩固新知,复习旧知,同学们真棒!还能求出其他量吗?

生等比数列中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列,故S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又S3等于72,S6等于632,代入可以求出S9.

[设计意图:例2是整体性问题,是等比数列前n项和公式的间接(综合)应用.教学时特别要注意引导学生分类讨论.这里,学生能在课堂上提出第二种、第三种方法,说明学生真正地在思考,在参与,非常值得肯定和赞扬.]

参考文献:

[1] 陈碧珍.“先学”之后应该“教什么”——以“等比数列的前n项和公式推导”为例[J].福建中学数学,2015(1).

[2] 谢丽丽,杨光伟.激活思维“生动”课堂——“等比数列的前n项和”教学研探[J].中学教研(数学),2014(6).

总而言之:该文是一篇适合不知如何写思维和《等比数列前n项和公式》和主体地位方面的数学思维专业大学硕士和本科毕业论文以及关于数学思维论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料.

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