高中数学概念学习中数学抽象的培育策略探究,本文是高中数学类有关开题报告范文跟高中数学和培育策略探究和数学抽象有关论文例文.
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【摘 要】数学抽象是培养数学思想方法的重要手段之一,数学抽象的学与教多数停留在凭经验无意识地运用,鲜有理论学习,对数学抽象的内涵、特征和方法等认识薄弱,基于此,本文力求从概念学习出发,通过概念形成过程认识数学抽象规律、概念内涵外延辨析形成数学抽象思维、概念符号凝练提升数学抽象能力三个方面进行实践研究,为培育高中生数学抽象核心素养提供一定的研究素材和实践参考.
【关键词】概念学习 “数学抽象”素养
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】A
【文章编号】1992-7711( 2018)12-113-03
一、问题提出
《普通高中数学课程标准》析取“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六大核心素养作为我国数学教育教学目标的重要表达.其中数学抽象让学生觉得不易理解,太抽象.究其原因,是大家对抽象认识不够.现代汉语词典的词条解析：①从许多事物中,舍弃个别的、非本质的属性,抽出共同的本质属性,叫抽象,是形成概念的必要手段.②不能具体经验到的、笼统的、空洞的.可见人们通常对抽象的认识属于解析②,而抽象是人类认识世界的一种科学方法和思维活动.现实中多数中学数学一线教师凭经验、无意识运用数学抽象,缺少必要的理论学习,对数学抽象的内涵、特征和方法等认识薄弱.学生勤于做题,疏于概念学习.基于此,本文从数学核心素养视角理解数学抽象的相关内涵特征、思想方法,并对概念学习中培育数学抽象素养进行了有益探究.
二、概念界定
（一）概念学习
概念学习就是学习把具有共同属性的事物集合在一起并冠以一个名称,把不具有此类属性的事物排除出去.主要有概念获得和运用两环节,运用概念对事情进行判断、推理和解决问题.
（二）数学抽象
数学抽象是指舍去事物的所有物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念和概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征.鲍建生教授指出：形成数学概念和规则、形成数学命题和模型、形成数学思想和方法、形成数学结构和体系是数学抽象四个方面的表现.史宁中教授认为抽象有直观描述和符号表达两个层次.徐利治教授指出数学抽象包含四个步骤：观察实例——抓住共性——提出概念——构建系统或框架（理论）.在数学抽象的内容特征,操作方法层面为数学抽象教学提供了一定的理论依据.本文所指的“数学抽象”素养是指在高中数学概念学习中,让学生逐步认识数学抽象的规律,形成数学抽象的思维和方法,提高数学抽象能力.也就是探讨如何让“高高在上”的数学核心素养“落地”,以及“落地”以后如何“伸展”的问题.
三、高中概念学习中数学“抽象素养”培育方法与策略
（一）在数学概念形成过程中认识数学抽象规律
数学核心素养是在掌握数学基础知识基础上,在数学活动过程中逐步形成的.概念是思维的基本单位,数学概念是数学抽象最基本的形式之一,数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.因此,提供丰富材料,结合生活实例,让学生动手实践经历完整的数学抽象过程,熟悉数学抽象的基本步骤,在数学概念形成过程中,逐步认识数学抽象规律.
[案例1]双曲线概念形成
具体过程为：辨别具象模式——分化各种属性——类化共同属性——抽象本质属性——检验确认——概括形成概念——符号化表达. 辨别具象模式：(1)每个同学用拉链来做实验,在拉开的拉链两侧各取一点,分别固定在定点F1,F2处,使拉链头在上方,将拉链头记为动点M,使M到Fi的距离大于M到F2的距离,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢画线.(2)保持定点Fi,F2位置不变,使拉链头在的下方重做以上操作.
分化各种属性：(3)交换两拉链的固定点,仍然将两点分别固定在定点F．,F2处,使拉链头肘到Fi的距离小于M到F2的距离,拉链头在上方,重做以上操作.(4)保持定点Fi,F2位置不变,使拉链头在下方,重做以上操作.
双曲线概念形成经过了两层次抽象,第一次抽象从辨别到概括,用自然语言表达的直观描述,在感性认识上建立直观,第二次抽象从概括到符号化,完成数学语言的符号表达,从具象到抽象.学生常用这样的步骤形成概念,慢慢就发现数学抽象的规律,明白数学抽象的特征,学会数学抽象的具体方法.
（二）在概念内涵外延辨析中形成数学抽象思维
数学概念是用数学语言揭示事物本质属性的思维形式.每个概念都有它的内涵和外延,概念的内涵是对概念的“质”的描述,概念的外延是对概念的“量”的描述.很显然数学概念具有抽象与具体的双重性,因此概念学习离不开数学抽象核心素养.
[案例2]算术平均数与几何平均数的概念内涵外延辨析
[实际问题]某种商品分两次降价,降价的方案有三种：方案甲：第一次9折销售,第二次再8折销售；方案乙：第一次8折销售,第二次再9折销售；方案丙：两次都是(8+9)÷2折销售,试问,降价最少的方案是那种？
教师引导学生分组讨论得到以下结果：
(1)设物价为t元,三种降价方案的销售价分别是：
方案甲：t×0.9×0.8等于0. 72t
方案乙：t×0.8×0.9等于0. 72t
方案丙：t×(0.9 x0.8)÷2 等于0.7225t,故丙方案的降价最少.
(2)从具体问题得到以上具体结论后,学生的成就感可以支持教师引导他们探索抽象的情况,由学生自己把折扣由8折和9折改变为抽象的a折和6折,于是,问题从具体一例变成了一类模型,这是数学抽象的具体表现.
[模型问题]某种商品分两次降价,降价的方案有三种：方案甲：第一次a折销售,第二次再6折销售；方案乙：第一次6折销售,第二次再a折销售；方案丙：两次都是a+b折销售,试问,降价最少的方案是那种？
思考：(1)三个不等式之间有什么关系？(2)其中有没有容易判断真假的？(3)a,6的范围有何限制？(4)等号何时取得？
[证明点评](1)几何意义；(2)算术平均数与几何平均数的概念及其关系；(3) ab的取值范围和等号取得的“当且仅当”.
[提出概念]算术平均数与几何平均数的概念.
实际问题出发,形成数学模型,找到本质属性,抽象概括形成概念的整个学习过程,正确揭示了概念的内涵和外延,深刻理解概念,牢固掌握概念,灵活运用概念,在概念内涵外延的辨析过程中,找到数学抽象的思维方法,提高数学抽象能力.使学生从根本上提高分析和解决问题的能力,形成数学抽象思维.
（三）在概念名称符号凝练中提升数学抽象能力
学生学习数学概念主要是通过抽象的术语、名词、符号等信息来认识的,数学中的计算、推理、证明也多数通过抽象的符号来实现.规范的名称和符号使得学生的概念体系的纯度更高,联系更坚韧,因此,学生在概念学习中正确理解并会正确运用数学概念的名称和符号,进行第二层次抽象更有利于数学抽象能力的形成.
[案例3]排列组合问题中关键词的符号化
数学语言和符号是非常严谨规范的,在很多数学问题的表述中往往存在很多关键词语,我们称之为“词眼”.比如在排列组合学习过程中,这样的“词眼”就应该特别引起我们的重视.大家能知道多少这样的“词眼”呢？
教师引导学生共同讨论得出大致结论：“恰好”、“至多”、“至少”、“都…”、“都不…”、“不都…”、“既不…也不…”等等．
[问题1]将标号为1,2,…,10的10个小球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每个盒子内放一个球,则恰好有4个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法共有多少种？
[思考1]:本题的词眼是什么？
引导学生得出：恰好,就是不多也不少,刚刚好,有且只有4个球的标号与盒子的标号不一致,也就是说有6个球的标号与盒子的标号是相同的.
引导学生发现：失误之处是对“恰好有4个球的标号与其所在盒子的标号不一致”的意义不理解或理解错误,而得到错误答案.
[问题2]:从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作.若这三人中至少有1名女生,则选派方案共有多少种？
[思考1]:本题的词眼是什么？
引导学生得出：至少,即大于或等于,亦即“≥”．
[思考2]“词眼”如何“翻译”呢？
引导学生具体化为：(1)“至少有1名女生”即可以选派1名、2名、或者3名女生,
(2)“至少有1名女生”的反面是“一个女生也没有”.
本题的可能失误之处：
引导学生发现：错误在于人为“至少有1名女生”的反面是“至多一名女生”.
[思考5]问题能否抽象到“至多n个”或“至少n个”？
引导学生从集合角度,通过补集理解“至多n个”或“至少n个”的否定.
“至多n个”即“≤n个”,它的否定显然是：“>n个”,即：“至少n +1个”
“至少n个”即“≥n个”,它的否定显然是：“<n个”,即：“至多n-1个”
[总结提升]对词眼的分析：恰好,即不多不少,有且只有；至少,即大于或等于,亦即“≥”.实际上我们对一个词语可以从多角度,多层面去剖析.可以对一个词语进行同义引申,也可以从反面进行理解,又或者将一个词语转化为数学符号便于理解.
使学生正确理解并能运用抽象数学名词和符号的方法,首先要让学生掌握各个名词、符号所代表的数学概念的具体内容,以及限制条件,再通过必要的训练来区分一些容易混淆的界限,才能防止类似错误.活用数学语言“翻译术”,让抽象变得更加具体.
四、结束语
数学代表的是一种秩序,概念是形成这些秩序的基础,培育学生的数学抽象核心素养的起点在于概念教学,关键在于课堂实践,重点在于利用数学抽象形成数学方法和思想.对数学方法和数学思想的教学要实现真正的“过程教育”,让学生实际操作、亲身体验,在不断地数学抽象过程中提高数学抽象能力,提升数学抽象核心素养.
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