闭区间套定理在数学教学中的一个有趣应用,本文是数学教学类学术论文怎么写与数学教学和区间套定理和有趣应用类学术论文怎么写.
数学教学论文参考文献：
摘 要：实数集的不可数性在数学分析、实分析等课程中是一非常基本且重要的结论.传统的是利用对角线法证明
（0,1）开区间中所有实数是不可数的,从而证明全体实数集的不可数性.文章主要应用实数完备性的六个等价命题之一——闭区间套定理,巧妙地证明了实数集的不可数性,该结论将会激发学生对闭区间套定理的学习兴趣,并有助于学生对闭区间套定理的理解和掌握.
关键词：闭区间套定理；实数集；不可数
众所周知且容易证明,有理数集是可数的.自然的一个猜想就是,任何无限集合都是可数的.但是事实并非如此.德国数学家、集合论的创始人康托有一个极有意义的发现,就是全体实数集（有理数和无理数）是不可数的.也就是说,全体实数与整数或有理数相比有一个根本的不同.同样是无限集,但实数集属于更高一级类型的无限.为人们所广泛熟悉的连续统,就是实数集的基数（粗略地说,即实数集元素的个数）.对于这个结论的其中一个应用就是证明了实数集中除了代数数（任何整系数多项式的复根）还存在超越数（不是代数数的实数,如圆周率）；因为代数式是可数的,但是实数集不可数.
康托利用对角线方法最早证明了实数集的不可数性.主要思路如下：首先建立实数集与（0,1）开区间的对等性（即找到两个集合之间一个一一映射）；其次,利用十进制法表示（0,1）开区间中所有的实数,如果所有这些实数集可数,它们就与正整数集对等,换句话说,它们就可以排列成一无穷序列.最后,也是最巧妙的部分,就是通过对角线方法构造一个（0,1）开区间中一个新的实数,但是我们能说明这个新的实数不属于这个无穷序列.这个矛盾就证明了实数集无法排列成一无穷序列,也就是说,实数集是不可数的.
虽然康托的证明非常经典,但是这个证明涉及到十进制表示法以及新的实数的构造,对于初学者并不容易掌握这个证明.很自然的问题是,是否存在对角线方法之外的而且更容易为学生理解的证明？文章将尝试应用闭区间套定理证来明实数集的不可数性.闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,也是实数完备性的六个等价命题之一.但同时也是数学分析教学过程中的难点之一.其中一个原因,就是闭区间套定理相关的应用以及练习较少（事实上该定理的应用非常广泛）.我们所做的尝试,一面能帮助学生如何构造闭区间套从而学会应用闭区间套定理,另一面这个证明充满趣味,将会激发学生对闭区间套定理的学习兴趣,最终有助于学生对闭区间套定理的理解和掌握.
一、主要结论
首先,让我们来回顾闭区间套定义及闭区间套定理.定义2.1（[1]）设闭区间列{[an,bn]}具有如下性质：
（1）[an,bn][an+1,bn+1],n等于1,2,L；
[1]limn→∞(bn-an)等于0.
则称{[an,bn]}为闭区间套.
定理2.2（[1]）若{[an,bn]}是一闭区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ[an,bn],n等于1,2,L即an≤ξ≤bn,n等于1,2,L.
以下例子说明闭区间套定理中闭区间不能减弱为开区间,否则结论可能不成立.
例2.3开区间列{(0,1/n)}是一区间套且满足limn→∞(1/
n-0)等于0,但不存在实数系中一点ξ满足ξ(0,1/n),n等于1,2,L.下面给出可数集和不可数集的定义.
定义2.4（[2]）凡和正整数集对等（两集合之间存在一一映射）的集合都称为可数集合.
定义2.5（[2]）不是可数集的无限集合称为不可数集.下面我们证明文章的主要结论.
定理2.6实数集是不可数集.
证：（反证法）假设实数集不是不可数集,则实数集必为可数集.由定义2.4知,实数集与正整数集对等,则实数集可排列成一个无穷序列,因此不失一般性,我们不妨设实数集为A等于{a1,a2,LanL}.现在我们在[0,1]中构造闭区间套.
第一步,将[0,1]分成三等分,即[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1].显然对于a1而言,至多同时属于上述两个闭区间,则我们可取得一闭区间不会包含a1,且记该闭区间为I1,长度为1/3.
第二步,将I1同样分成三等分.（例如若I1等于[1/3,2/3],则三等分之后得到三个闭区间为[1/3,4/9],[4/9,5/9],[5/9,2/3]）显然对于a2而言,至多同时属于两个闭区间,则我们可取得一闭区间不会包含a2,记该闭区间为I2,长度为1/9,且满足I2I1.
延续这个方式下去,我们可得到一列闭区间列{In}满足以下性质：
（1）InIn+1,n等于1,2,L,
（2）I的区间长度为1/2n,n等于1,2,L,
[2]anIn,n等于1,2,L.
由（1）和（2）可知,{In}形成一闭区间套.则有闭区间套定理知,在实数集中存在一点ξA,满足ξIn≥1In.另一方面,因ξA,故可设ξ等于ak,其中k为正整数.由（3）知,ξ等于akIk,进而ξIn≥1In.矛盾！这个证明了实数集不能排列成一个无穷序列,故实数集是不可数的.证明完毕！
推论2.7无理数是不可数集.
证：（反证法）假设结论不成立,即无理数集是可数集.众所周知,有理数集是可数集.因为可数个可数集的并仍旧是可数集[2],所以实数集作为有理数和无理数的并是可数的,与定理2.6矛盾.证明完毕！
二、结语
闭区间套定理固然是教学难点之一,初学者亦很难构造闭区间套来应用该定理.但是笔者认为,只要在教学过程中,多穿插一些有趣的应用,不仅能培养学生的创造力和分析思维,同时也能激发其强烈的求知欲和学习兴趣.
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析上[M].高等教育出版社,2010:1-344.
[2]程其襄,张奠宇,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M].高等教育出版社,2015:1-347.
基金项目：文章为国家自然科学基金（天元基金）研究成果,项目编号：11626131；文章为国家自然科学青年基金研究成果,项目编号：11801271.
作者简介：宣渭峰（1984.02-）,男,汉族,浙江宁波人,博士,讲师,研究方向：一般拓扑.
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