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文科生相关论文如何怎么撰写 跟为高三文科生插上解题思维的翅膀有关电大毕业论文范文

主题:文科生论文写作 时间:2024-01-25

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建水县第六中学,云南 红河 654300

摘 要 培养学生的数学解题思维,教会学生如何解数学题,就是要通过有限的题目学习去领悟无限道题目的思维方法及规律,让学生养成以不同的角度观察、思考,用不同的方法和观点去解决同一数学问题的习惯,从而扩充思维的领域,增加思维机遇,学生不满足已有方法而寻找新方法,这就有利于沟通知识间的联系,培养学生思维的广阔性.

关键词 数学 解题 思维 能力

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2016)13-0105-02

在两年的教育教学工作中,我发现了文科生在学习数学存在的普遍问题就是上课能听懂,但是不会解题,这也是目前高中数学教与学中存在的一个普遍问题.很多文科学生都知道成败在于数学,要想在高考当中胜出必须学好数学,而学好数学,听懂数学课是前提,掌握好数学的基础知识,解题的基本方法和基本技能是根本,所有这些都必须落实到让学生学会解数学题上来,而解数学题的思维又尤为重要.

一、选择典型例题,加强“双基”训练,注重提升其科学性

例1 过双曲线x2/a2-y2/b2 等于1(a > 0,b > 0)的右顶点A作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若AB等于 1/2BC,求双曲线的离心率.

思路1 利用过A 斜率为-1 的直线与两条渐近线相交,求出交点B、C,再利用向量的坐标运算,求出a 与b 的关系,从而求得离心率.

因为直线AC 的方程为y等于-x+a,渐近线OB、OC 的方程为y等于xb/a,y等于-xb/a,联立方程组y等于-x+a,y等于-xb/a得B(a2/(a+b),ab/(a+b) ),联立方程组y等于-x+a,y等于-xb/a得C(a2/(a-b),-ab/(a-b))(a≠b),A(a,0),AB等于 1/2 BC,∴(a2/(a+b)-a,ab/(a+b))等于1/2(a2/(a-b)-a2/(a+b) ,-ab/(a-b)ab/(a+b)),即∴a2/(a+b)-a等于1/2(a2/(a-b)-a2/(a+b) ),∴b等于2a,c等于√a2+b2等于 √5a,故双曲线的离心率是e等于 5.

点评:注重通性通法,淡化特殊技巧

思路2 由于解析几何的本质是利用代数的方法来研究平面几何问题,因此本题辅之用平面几何的知识去解决,那就大大减少运算量,提高解题的速度.同思路1 求出B、C 两点的坐标,B(a2/(a+b),ab/(a+b)),C(a2/(a-b), -ab/(a-b)(a≠b),由题意知B、C 两点在x 轴的上方,AB等于 1/2BC,由相似三角形知识可知:YB/YC等于1/3,即3ab/(a+b)等于-ab/(a-b),∴b等于2a.

点评:强调数学本质,提高应变能力

二、选择典型例题,体验一题多解,领悟数学思想

例2 设√3b 是1-a 和1+a 的等比中项,求a+3b 的最大值.

思路一:令a+3b,则a等于m-3b 带入a2+3b2等于1 有(m-3b)2+3b2等于1,即m2+9b2-6mb+3b2-1等于0,化简得12b2-6mb+m2-1等于0此为关于b的一元二次方程,有解故△等于36m2-48(m2-1)≥0,即m2≤4,所以-2≤m≤2,因此a+3b 的最大值为2.

点评:利用方程思想处理.将求解的问题转化为方程处理,这是高中数学的一种重要思想方法.

思路二:令a等于sinΘ,√3b等于cosΘ即b等于 √3/3cosΘ(Θ∈R)带入a+3b 得a+3b等于sinΘ+√3cosΘ等于2sin(Θ+/π/3)≤2.由∈R 有2sin(Θ+π/3)≤2,所以a+3b 的最大值为2.

点评:利用三角换元思想处理.换元思想的利用往往可以简化问题的结构,降低问题的难度.三、选择典型例题,注重引申推广,强化应用意识

例3 如图,在直角平面坐标系XoY 中,过y 轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y等于x2相交于AB 两点,一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l∶y等于-c交于P、Q.

(1)若OA · OB等于2,求c 的值;

(2)若P 为线段AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;

(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.

解答:(1)由题意直线AB 斜率必然存在,设A(x1,x2),B(x2,x22),直线AB 方程:y等于kx+c.

则y等于x2 y等于kx+c得x2-kx-c等于0

由韦达定理得:x1+x2等于k;x1x2等于-c

OA · OB等于x1x2+x12x22等于c+c2等于2,解得c等于2 或c等于-1(舍)

(2)由(1)得x1x2等于-c,点Q((x1+x2)/2 ,-c)

∴kQA等于x12/[x12/x1-((x1+x2)/2)]等于2x1,抛物线y等于x2 在点A 处的切线的斜率k等于y´等于2x1,所以kQA与点A 处的切线的斜率相等,且有公共点A,所以直线QA 就是抛物线y等于x2 的切线.

(3)逆命题:若QA 为抛物线y等于x2的切线,则P 为AB的中点.逆命题成立.

设Q(x0,-c),因为QA 为抛物线y等于x2 的切线,所以kQA等于y´等于2x1,

即: (x12+c)/(x1-x0)等于2x1,(x12-x1x2)/(x1-x0)等于2x1,解得x0等于(x1+x2)/2,所以Q((x1+x2)/2,-c),又因为PQ⊥X 轴,所以P 点的横坐标为(x1+x2)/2,即P 点为AB 的中点.

【延伸1】在上面第(2)小题中,能否同理得到QB 也为抛物线的切线?(无非是第(2)小题的复制,意在加深学生对第(2)小题解答的理解.)

【延伸2】直线AB 的斜率与直线QC 的斜率的乘积是否为常数?

解:kQC等于 -2c/(x1+x2)/2等于-4c/k ,∴kQC · K等于-4c

【延伸3】直线QA 与QB 的斜率之积呢?

解:从原第(2)小题解答易得:kQA · kQB等于y´|x等于x1 · y´|x等于x2等于2x1 · 2x2等于4x1x2等于-4c

(意在强化利用导数求切线的斜率,并且得到两个特殊的定值,为后面的进一步探究作准备.)

【拓展1】把题目改为:在直角平面坐标系XoY 中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y等于x2相交于AB 两点,过点A 点B 分别作抛物线的切线l1,l2 交于点Q,求点Q 的轨迹方程,并证明QP 与X 轴垂直.(P 为线段AB 的中点)

解:直线l1 的方程:y等于x12等于2x1(x-x1)直线l2 的方程:y等于x22等于2x2(x-x2)Q 是l1,l2 的交点,

∴Q(x,y)是方程组y等于x12等于2x1(x-x1) y等于x22等于2x2(x-x2)

消去x 得y等于x1x2等于-c,消去y得x等于(x1+x2)/2等于k/2 .

∴点Q((x1+x2)/2,-c).即点Q 的轨迹方程为:y等于-c,且点P 与点Q 的横坐标相等,所以PQ⊥X 轴.

【拓展2】把题目改为:抛物线y等于x2,点C(0,c),在上取点Q ,过点Q 作抛物线的切线QA、QB,切点为A、B.问:1)点A、B、C 三点共线吗?(2)kQA · kQB等于?

解答:设点Q(xQ,-c),点A(x1,x12),点B(x2,x22),

QA 为切线,∴kQA等于y´,即(x12+c)/(x1-xQ)等于2x1,化简得xQ等于(x12-c)/2x1

同理QB 为切线,∴kQB等于y´,即(x22+c)/(x2-xQ)等于2x2,化简得xQ等于(x22-c)/2x2

∴ (x12-c)/2x1等于(x22-c)/2x2;即kCA等于kCB,所以点A、B、C 三点共线.

(2)方法一:继续把(x12-c)/2x1等于(x22-c)/2x2化简得x1x2等于-c,

∴kQA · kQB等于4x1x2等于-4c

方法二:设过点Q作抛物线的切线的斜率为k,则切线方程为:y+c等于k(x-xQ);与抛物线方程联立方程组y+c等于k(x-xQ) y等于x2消去y得x2-kx+kxQ+c等于0,相切,

∴△等于k2-4kxQ-4c等于0

k1,k2 就是切线QA、QB 的斜率.∴k1 · k2等于-4c

点评:(1)拓展1 与拓展2 的编排类似于原题,也是捆绑式的互为逆命题,难度上有所增加,解法上继续强调导数的应用和相切关系中的通法运用,有一定的灵活性.师生互动在前面的基础上进一步激发学生对本题进行探究的好奇和兴趣.(2)学生不应为解题而学习,而应该把学习当成一种研究尝试和知识的延伸.通过变化方式或添加条件来增强效果,发散思维.

参考文献:

[1]郑毓信.问题解决与数学教学[M].南京:江苏教育出版性,1994,54 ~ 55.

[2][美]波利亚.怎样解题[M].北京:科学出版社,1982,13 ~15.

[3]钟启泉,黄志成.美国教学论流派[M].西安:陕西人民教育出版社,1996.3 ~ 6.(责任编辑 曾卉)

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