几个数学逻辑联结词的内涵,本文是数学逻辑本科毕业论文范文与逻辑和内涵和联结有关本科毕业论文范文.
数学逻辑论文参考文献：
【摘 要】本文简要阐述逻辑学中的几个重要概念,并运用例子来解析这些概念,为更好地理解和运用这些概念提供参考.指出逻辑学是人们在生活和工作中必不可少而且非常重要的学科,研究数学问题时,很多思维活动和知识领域都要应用逻辑知识,逻辑学在学习数学、应用数学和研究数学等活动中有着举足轻重的作用.
【关键词】数学 逻辑 联结词 内涵 探讨
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）01B-0090-02
思维科学是一个学科群体,思维科学主要揭示思维的本质属性和各种规律.逻辑学属于思维科学的范畴,它是人们在生活和工作中必不可少而且非常重要的学科.生活和工作中的很多事件都能通过逻辑的推理得以弄清来龙去脉,而且用逻辑学的方法能够解决很多生活和工作中的问题.因此,在生活和工作中逻辑学起到了不可忽视的作用.研究数学问题时,很多思维活动和知识领域都要应用逻辑知识,逻辑学在学习数学、应用数学和研究数学等活动中有着举足轻重的作用.
一、知识点分析
(一)命题
命题,判断一件事情真假的语句叫命题.
一条语句是否为命题,关键在于该语句能不能判断该事情的真假,若一语句不能判断真假,那么该语句就不是命题.应该注意,命题和开语句（无法确定其是真是假的语句）的区别.如“y＞3”就是开语句,因为没有给出 y 的确定的值时,无法判断“y＞3”的真假.再如“求证方程 a2＋a＋1＝0 无实根”是祈使句,无法判断它的真假,所以不是命题；“向英雄学习”是感叹句,而无需判断真假,因此它也不是命题.
(二)逻辑联结词
1．“或”“且”“非”这些联结语句的词语叫逻辑联结词.
2．数学中“或”这个逻辑联结词和日常生活用语中的“或”的意义是不同的：日常生活的“或”用语带有“不可兼有”（即不能同时具备）的意思,例如吃饭或上街；而数学中的这一逻辑联结词却含有“同时兼有”的意思,如 a＞5 或 0≤a＜10.
3．“或”字与集合的“并”字密切相关.
（1）在集合的运算中,并集是用“或”来定义的：
M∪N＝｛x｜x｜,x∈M 或 x∈N｝.
（2）它们两者的外形相似：“p 或 q”的含义存在三种情形：
情形一,只有 p 成立；情形二,只有 q 成立；情形三,p和 q 同时成立.这三种情形依次对应于集合并集中的情形一（CUN）∩M；情形二（CUM）∩N；情形三 M∩N.
（3）两者之间的区别：集合的运算中的并集强调的是一个“整体”,这个整体可以看做是由三个部分组成的；而逻辑联结词“或”字则是用来联结两个命题,把它们组成一个复合命题,当复合命题成立时,也有三种情况.
二、应用剖析
(一)怎样判断一个命题是复合命题
用逻辑联结词联结的命题就是复合命题,而不用逻辑联结的命题则是简单命题.要判断一个命题属于简单命题或者属于复合命题,不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等这些逻辑联结词,而应该从命题的结构来看是否可以用逻辑联结词来联结这两个命题.有些命题表面上没有这些词,但它是复合命题.如“能被 5 整除的数个位不是 0 就是 5”是复合命题,它的意思和“能被 5 整除的数个位是 0 或 5”一样；而“对角线垂直且相等的四边形是正方形”这个命题,虽然含有“且”,但它却不是一个复合命题,而是一个有复合命题条件的简单命题.
(二)如何判断一个复合命题的真假
首先判断简单命题的真假,再列真值表来帮助判断.
P真真假假
q真假真假
P或 q真真真假
P且q真假假假
非P假假真真
非q假真假真
为了方便识记,上面的真值表可简单表述为：“p 或 q”一真必真,“p 且 q”一假必假,“非 p”真假相反.
三、思维迁移
(一)如何准确写出一个命题的否定命题
1．对“若 A 则 B”型命题的否定
虽然对一个命题的否定是对该命题的结论进行否定,但必须保证与真值表相符合.
例如：写出下列命题的否定形式.
（1）若张三是 A 学校的学生,那么张三就是 A 学校一年级（一）班的学生；
（2）如果 x＋y＝0,那么 x＝0,y＝0；
（3）如果 a 是有理数,那么 a 就是自然数.
分析解答：
（1）命题“若张三是 A 学校的学生,那么张三就是 A 学校一年级（一）班的学生”的否命题是：若张三是 A 学校的学生,那么张三就不是 A 学校一年级（一）班的学生；
（2）命题“如果 x＋y＝0,那么 x＝0,y＝0”的否命题是：如果 x＋y＝0,那么 x≠0,y≠0；
（3）命题“如果 a 是有理数,那么 a 就是自然数”的否命题是：如果 a 是有理数,那么 a 不是自然数.
2．全称否定与特称否定
非 p 叫做对命题的否定,但“非 p”绝不是“是”与“不是”的简单表述.一般地,命题是指对事物的性质或事物的存在关系的判定,可以根据判断对象的数量是个体或者是部分抑或是全体,把其分为单称命题、特称命题和全称命题.但必须透彻理解：否定全称得特称、否定特称得全称、否定肯定是否定、否定否定得肯定.在解决实际问题时,应注意命题中是不是省略了表示全称意义的词语,如“全部”“一切”“所有”“任何”等词语.
例：请指出下面的命题是全称命题还是特称命题,写出这些命题的否定形式,并说出这些否定形式的真假,不需要证明.
（1）一个数的最后一个数字是偶数的数能被 4 整除；
（2）对任意实数 a,都有 a2－2a－3＜0；
（3）方程 b2－5b－6＝0 有一个根是奇数.
分析解答：
（1）这个命题是全称命题.它的否定是：存在末尾数是偶数的数,不能被 4 整除；这个命题的否定是真命题.
（2）这个命题是全称命题.它的否定是：存在实数 a,使得 a2－2a≥0；这个命题的否定是真命题.
（3）这个命题是特称命题.它的否定是：方程 b2－5b－6＝0 的两个根都不是奇数；这个命题的否定是假命题.
3．对“或”“且”命题的否定
由“或”“且”词语联结的命题的否定形式：“p 或 q”形式的命题的否定是“非p 且非 q”,“p 且 q”形式的命题的否定形式是“非 p 或 q”.它类似于集合运算中的“C∪（A∪B）＝ （C∪A）∩（C∪B）,C∪（A∩B）＝（C∪A）∪（C∪B） ”.
4．常用正面叙述词语及它的否定
正面词语等于大于（＞）小于（＜）是都是P或q
否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是非P且非q
正面
词语至多
有一个至少
有一个任意的所有的至多有k个任意
两个P且q
否定至小
有两个一个
也没有某个某些至少有k+1个某两个非P或非q
(二)如何进行复合命题的真值推理
首先求出复合命题的真值表,结合复合命题的构成,仔细对照真值表,对每一个简单命题的真值情况予确定,再依此推理出新的复合命题的真值.
例：小 D 生病了,小 A、小 B、小 C 三个同学中有一个帮助小 D 完成了工作.当小 D 问起谁做的好事时,小 A 说：“小 B做的.”小 B 说：“不是我做的.”小 C 说：“也不是我做的.”假设知道三个人中有两个人说的是假话,有一个人说的是真话,能判断是谁做的好事吗？
解析：结论有三种可能：（1）如果是小 A 做的,那么三人说话中有二真一假,不合题意；（2）如果是小 B 做的,那么三人中有二真一假,不合题意；（3）如果是小 C 做的,那么三人说话中二假一真,符合题意,所以得到结论是小 C 做的.
(三)逻辑联结词与集合运算的对应关系
设集合 M 和 N 的特征性质分别是 p 和 q,即 M＝｛x|p｝,N＝｛x|q｝.在全集 U＝｛x|u｝的范围内,根据“且”或“或”“非”逻辑联结词的意义,可对集合的交集、并集、补集进行更深更广的认识：
M∩N＝｛x|x∈M 且 x∈N｝＝｛x|p∧q｝；
M∪N＝｛x|x∈M 或 x∈N｝＝｛x|p∨q｝；
CUM＝｛x|x∈U 且 xM｝＝｛x|┐p｝；
CUN＝｛x|x∈U 且 xN｝＝｛x|┐q ｝.
由此可知：
M∩N 的特征性质是 p∧q；
M∪N 的特征性质是 p∨q；
CUM 的特征性质是 ┐p,即 u∧（┐p）；
CUN 的特征性质是 ┐q,即 u∨（┐q）.
由此可见,数学是从生活中来的,同时也为生活服务.特别是逻辑方面,在生活和工作中常常遇见并被运用.透彻理解逻辑学知识并灵活应用逻辑学知识解决问题,既可以体会数学的实用性,又可以感悟数学的乐趣.
【作者简介】龚光剑（1976— ）,男,汉族,广西百色人,广西右江民族商业学校高级讲师.
（责编 卢建龙）
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