APOS理论在学生符号意识培养中的应用,本文是关于符号方面专升本毕业论文范文和符号和APOS理论和意识有关硕士论文范文.
符号论文参考文献：
中图分类号：G630 文献标识码：A DOI：10.16871/j.cnki.kjwha.2018.06.057
摘 要符号意识在数学学习中占有重要的地位,《义务教育课程标准（2011 版）》将符号意识列为十个核心素养之一.杜宾斯基的APOS 理论致力于对“学生如何学习数学”以及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的考虑,提出了数学学习需要经历活动、程序、对象和图式这四个阶段,此理论与数学符号意识结合,促进学生符号意识的形成和提高.
关键词符号意识APOS理论核心素养
The Application of APOS Theory in Developing Students’Symbol Consciousness // Chang Lu
Abstract Symbol consciousness plays an important role in mathematicslearning. "Compulsory Education Curriculum Standards(Version 2011)" lists symbol consciousness as one of the ten corequalities. Dubinsky´s APOS theory is devoted to the considerationof "how students learn mathematics" and "what kind of teachingplan can help this kind of learning". It puts forward that mathematicslearning needs to go through four stages: activity, program,object, and schema. This theory is combined with consciousnessof mathematical symbols to promote the formation and improvementof students´ symbol consciousness.
Key words symbol consciousness;APOS theory;core qualities
APOS 理论是源自于杜宾斯基对皮亚杰的一种称为“反思性抽象”的心理研究,是对“反思性抽象”的推广,杜宾斯基认为,一个人的数学概念,特别是抽象数学概念,是不可能直接通过机械的学习获得的,需要形成一种心智结构,所以教学的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构,而APOS 理论正是帮助学生建立这种心智结构.APOS 理论揭示了数学概念学习,特别是抽象数学概念学习的本质,最初是应用于高等数学的教学中的,20 世纪90 年代,该理论被介绍到我国,从而被我国数学教育界所熟知,该理论做出假设：个体在解决所感知到的数学问题的过程中会获得相应的数学知识,在这个过程中,个体依次建构了心理活动（actions）、程序（processes）、对象（objects）,以及图式结构（scheme）这四个表示学生理解抽象数学概念的基本阶段,这四个阶段也反映了数学概念学习的本质.因此APOS 理论的命名也便由这四个英文单词的首字母组成.
在“活动”阶段,教师将与新概念学习有关的问题呈现给学生,让学生动脑思考,动手操作,“活动”会内化为数学学习中的日常活动.这种日常活动经过多次重复,内化为一种“程序”,不需要外部的刺激就可以实施.在通过反复的运用程序去实施活动时,数学知识随之被压缩,进而被学生消化吸收,成为一种心理“对象”,这也是学生对抽象概念学习的关键阶段,机械的记忆将升华为在理解基础上的认知,围绕着这个“对象”会形成一种认知结构,即为“图式”,再通过长期的学习活动,建立起与其他概念、规则、图形等的联系,从而形成心智结构.
数学是抽象的,而数学抽象大多来源于数学符号,符号意识在《义务教育数学课程标准（2011 版）》作为十个核心素养之一被提出,作为数学教育工作者,培养和提升学生的符号意识是在数学教学过程中的一项重要任务.基于APOS 理论,结合数学符号意识的感知（perception）、运算（operation）、推理（reasoning）和表达（expression）四个维度,将“活动”、“程序”、“对象”、“图式”这四个阶段与数学符号意识有机结合,可以将数学符号意识从感性认识上升到理性认识,从而对于数学知识获得更高层次的理解,有利于帮助学生促进数学符号意识的培养和提高.
1 活动阶段
活动,是个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指示去变换一个客观的数学对象的过程,是学生学习的基本阶段,也是一切知识形成的必要条件.活动的内化在数学符号意识的感知和运算两个维度发挥着非常重要的作用.当学生对数学符号处在模糊的状态,不能理解符号所代表的意义是什么的时候,“活动”就体现了它的价值.例如,小学生在学习乘法的时候,他们不知道“×”是什么,可以先通过现实情境,“有3 个小朋友,每个小朋友分两个皮球,一共需要多少皮球？”,告诉学生可以借助3×2等于6 这样的式子进行计算,再通过多种变式的联系,经过多次重复此“活动”后,“×”被学生熟悉并掌握,从而内化.当学生不能认识到符号可以类比数字进行运算时,“活动”亦将发挥作用,例如小学生学习方程时,通过多次重复类似于3+x等于5,x等于5-3等于2 的活动,而被个体熟悉.经过多次类似于上述的活动,学生能做到看到数学符号中蕴含着的其本身特定的含义,理解运用数学符号类比数字进行运算,对于符号的感知和运算以及得到内化,但对于数学符号的理解较为单一,例如,在上述3+x等于5 中,学生可以理解,因为右侧只有一项,这与之前学过的运算一致,左边是加法,右边是结果,但对3+2x等于5+x 这样的式子,学生理解就会有困难,因为左右两侧都是加法,“等于 ”已经从结果符号转变为关系符号.
2 程序阶段
对抽象数学概念的内化,其本质就是源于多次重复,当“活动”经过多次重复被个体所熟悉后,就会内化为“程序”.在这个阶段,学生的符号意识已经初步形成,有些简单的问题学生不必通过具体实施“活动”就可以想象出结果,但对符号的理解单一,对符号运算的理解也处在形式的层面.这就需要学生反复地运用“程序”去实施“活动”.例如,在熟练掌握小学学习的加法交换律a+b等于b+a,结合律a+(b+c)等于(a+b)+c,分配率(a+b)c等于ac+bc 等运算法则后,到初中学习完全平方公式(a+b)2等于a2+2ab+b2及平方差公式a2-b2等于(a+b)(a-b),虽然本质上都是用符号代替数字,总结出的是比数字表达更简洁、概括、具体的公式,后者只是前者的延伸.但初中的学生,特别是刚开始学习运用这两个公式的时候,学生在将符号转换为数字这个过程的理解和灵活运用上仍然存在难度,例如,(-c+d)2 的形式,学生就容易混乱,不知如何下手,似乎与我们基本公式(a+b)2产生了认知冲突,所以学生要在理解公式的前提下,多次反复地练习,才能理解数学符号运算的一般性,从数学符号形式上的运算发展为程式化的运算.而且学生本身要有学习的动机,这样反复的“活动”内化为“程序”,遇到难度稍大的问题再重复“活动”,从而进一步完善“程序”,经过多次反复上述的情形,就会出现对知识的“压缩”和“解压缩”的过程.反之,若学生没有主动学习的动机,他就很难主动地运用“程序”去重复“活动”,这样,“程序”的进一步完善也就遥不可及了.
3 对象阶段
经过反复的压缩和解压缩的过程,“程序”就会被“压缩”成为一种心理“对象”,这时,个体已经能够把由“活动”内化成的“程序”在头脑中作为一个整体呈现.在这一阶段,学生的数学符号意识的“推理”和“表达”两个维度应运而生.学习者可以从繁琐的文字表述中解脱出来,运用数学符号语言进行数学推理、猜想或证明,这时,学习者已经把数学符号当做了一种“对象”,对于一些数学符号特征略微明显的问题,学习者可以将问题中的数学关系符号化,选择简单的符号表达方式进行数学表达,但表达有时会有一些机械性,不是特别灵活.例如,在学习三角形全等的证明过程中,△ABC艿△DEF 表示两个三角形全等,且在两个三角形中,∠A、∠B、∠C 分别对应∠D、∠E 和∠F,但一部分学生在刚刚学习时,对于此问题的学习较为片面,如果遇到有重合的边或者顶点,可能就不知如何用数学符号去表达,所以依然需要重复“活动”,使其内化于心.但不管怎么说,学习者通过前面的学习,符号意识已经根植于心,可以用数学符号对数学问题进行简单的表达,心理“对象”已经生成,在今后的学习中,可以直接用此“对象”去解决问题.另外,在具体的“活动”与抽象“对象”之间,学习者在头脑中还需要经历一个实施具体行动的过程,这也就是APOS 理论所讲的“内化”过程.
4 图式阶段
“活动”、“程序”、“对象”可以看成是个体对数学知识学习的三种状态,这三种状态形成了一种心理认知结构,即为“图式”.皮亚杰提出的“图式”是儿童对环境进行适应的认知结构,人们在已有的简单图式的基础上,在后天的环境和教育下,通过同化和顺应不断丰富自己的图式.APOS 理论讲的“图式”是在个体中形成的一种用于解决问题的认知框架.这四个阶段在理论上具有等级性,前一个阶段是后一个阶段的基础,一个数学概念“图式阶段”的形成是需要长期反复地通过“对象”运用“程序”进行“活动”的,而且,这四个阶段彼此不能跳跃,“活动”、“程序”、“对象”都是学生形成心理“图式”的必经之路,不能拔苗助长,必须循序渐进,使知识一步一步逐渐升华.在这一阶段,学习者的符号意识可以说是到了成熟的阶段,数学符号在头脑中作为一个整体呈现,可以用数学符号对数学问题进行演绎推理,理解数学符号表达的多样性,既可以灵活地应用一种数学符号表达问题,也可以根据需要替换成另一种数学符号表达,可以将文字的数学概念转变为数学符号语言,实现在数字与符号之间的灵活转换.这时,数学符号在数学学习中就像我们日常生活中的一种语言,虽然表达方式与正常的语法规则不同,但它简洁、精炼、准确,能让学习者以最快的速度找到有用的信息.
5 结语
数学语言是我们人类文明的共同语言,而数学语言往往需要依靠数学符号来表达.正如南京大学方延明教授在《数学文化导论》中总结的数学的15 种定义其中的“符号说”所表达的,“数学是一种高级语言,是符号的世界.”数学符号意识是学生数学学习过程中不可或缺的数学素养之一,帮助学生建立一个成熟的符号意识,使每一个符号在学生头脑中都富有意义,巧妙地运用数学符号,对数学的学习将事半功倍.APOS 理论主要是对数学概念,特别是抽象的数学概念理解的阶段理论,而任何数学概念总有其符号语言进行表达.数学抽象的过程,都伴随着对数学符号（字母符号“a,b,c…”,运算符号“＋,－,×,÷…”,位置关系符号“⊥,//…”等）的使用,在这个过程中,学生建立了符号意识,获得了一种数学素养.培养学生的符号意识,是对学生抽象思维的一种训练,也能让学生在学习过程中养成严谨、简洁的思维习惯,这是数学独有的魅力,其他学科无法替代.
一些研究表明,在APOS 理论的教学框架下,学生对某个特定的数学概念的认知发展水平都达到了预期的效果,且此理论的几个阶段清楚地反映了数学概念学习的本质特征.就数学符号意识来说,从“感知”、“运算”到“推理”、“表达”,运用APOS 理论从心理“活动”,一步步构建升华为心理“图式”,巧妙地将符号意识根植于心.APOS 理论既可以清楚地指明学生学习数学概念所建构的学习层次,为学生学习数学概念提供了一个良好的理论工具,而且也为数学教师如何更好地进行数学教学、如何更好地帮助学生将数学知识融入血液提供了一个非常具体的教学策略.同时,也可以更好地激发学生对数学的学习兴趣,增强学生的自信心.
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