高考复习中优化学生数学认知结构的基本策略,该文是有关生数学硕士论文开题报告范文与高考复习和基本策略和认知类函授毕业论文范文.
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【摘 要】数学高考复习的总体目标是发展和优化学生的数学认知结构,基本策略是：优化数学知识结构,使学生头脑中的知识结构具有系统性、统摄性和迁移性；优化数学观念系统,使个体内化的数学观念能体现学科思维结构特点,具有较高的思想层次性,并在解题实践中提高学生的监控意识和反思能力.
【关键词】数学认知结构；知识结构；数学观念
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568(2017)31-0020-02
高考数学试题的设计以基础知识为载体,以思想方法为灵魂,以能力素质为目标,综合考查学生的数学核心素养,其实质就是检测学生数学认知结构水平的完善和发展程度,因此,高考复习的总体目标是发展和优化学生的数学认知结构.
数学认知结构是学生在头脑中建立起来的数学知识结构,主要包括学生掌握的数学知识,在知识形成过程中发展起来的数学观念、数学思维结构及个体的非智力因素等.在平常的教学中,我们致力于数学认知结构基本内容的生成和积累.在高考复习阶段,学生已学完了中学数学的全部知识,具备了构成一个完整知识系统的条件,与此同时,学生的各种能力也逐渐成熟起来,这正是发展和优化学生数学认知结构的最佳时机.
一、优化数学知识结构
良好的数学认知结构,不仅要有相当的知识积累,而且要在头脑中以科学合理的方式把知识组织好,以利于储存和提取,选择和组合,接受和同化新知识,使认知结构不断地得到发展和优化.因此,在复习阶段优化学生的数学知识结构是教学的首要任务.
1良好的知识结构应具有系统性
学习数学知识时,不仅应要求学生明确它们的实质意义,而且还要对知识进行结构化、系统化的梳理和概括,使之形成相应的网络体系.知识一经形成体系,才有利于储存和提取,调用时才能经纬通达,左右逢源.一个较差的认知结构,首先反映在头脑中的知识不是呈网络状的纵横状态,而是呈孤立的支离破碎的状态,具体表现为数学概念的表象、离散及遗忘,思维方法的僵化、无序和单一,信息检索的缓慢及组合的不合理.因此,必须给学生提供良好的知识结构材料,并对知识材料进行梳理概括,从而使形成的知识结构主线清晰,脉络分明,思想饱满,稳定性好.
形成知识体系,不仅仅是掌握全部细节,最根本的是要掌握某些关键的“点”与“线”,以便能结成一张网,包摄统领全部内容.例如,解析几何中,点与坐标、曲线与方程是这门学科的两大基本矛盾,这两组对立面之间的联系和转化就形成了解析几何的基本结构.直角坐标系与极坐标系,普通方程和参数方程只不过是联系和转化的纽带和工具.以这两类矛盾的联系和转化为主线,通过对常用曲线的研究提高解析法的运用能力,这是解析几何总复习应达到的目的.
2．良好的知识结构应具有迁移性
良好的知识结构不仅要知识丰富、组织有序,而且应具有活力或生成性.知识结构的这种动态、活力体现在能广泛地进行知识、方法的迁移,同化新的数学内容,给思维提供类比、联想的良好条件,给直觉判断提供一定的科学基础,能在变化的情境中迅速转换出非本质特征,突出其本质特征.这要求教师不仅要用整体系统的观点探索知识的纵向联系,还要用迁移的规律把握知识的横向联系,寻找牵动全局的纽带或关节点.
例1椭圆知识结构的“固有性质”
教材中椭圆的知识按“定义——方程——性质”的线索展开,如果复习阶段仅仅停留在“明确定义,推导方程,归纳性质”的层面,学生就不能看到其中的联系和转化,解题时也不会在变化的情境中抓住问题的“牛鼻子”,思维必将游离于非本质的乱碰乱撞中.如果把椭圆的“定义一方程——性质”作为一个整体,概括出其中本质的因素,即椭圆的不变量——固有性质：椭圆的知识结构就出现了活力,数和形更有机地结合在一起,不仅有利于解题方法的选择和应用,也极利于双曲线、抛物线知识结构和思想方法的迁移.
二、优化数学观念系统
数学观念,即数学意识,它是人们对数学的基本看法和概括认识,是由数学思想、方法、观点和思维方式构成的认知系统,它表现为用数学的思考方式去考虑问题、解决问题的自觉意识或思维习惯.例如,抽象意识,推理意识（演绎推理,合情推理）,整体意识和化归意识,它们之间的相互联系和转化构成了数学观念能动的应用过程.
高考复习中优化学生的数学观念,主要是对数学思维过程具有统领作用的数学思想进行概括、提炼和应用.例如抽象意识,在解题的过程中能从问题情境中敏锐洞察解题的方向,迅速抓住问题的本质特征,有效制定解题方案,这就是抽象意识的核心.又如整体意识,它体现的是一种系统思维,着眼于从问题系统的要素及要素之间的相互联系和转化的高度思考和研究问题.
例2“直线与方程”的整体性
解析几何的核心思想是坐标法,让学生经历用坐标法解决问题的完整过程的含义是：先用几何的眼光“看”（几何要素、几何特征、几何性质）,再用代数的方法“算”（曲线方程、同解变形、韦达定理）.
因此,坐标法研究直线,首先要明确在直角坐标系中这一特定背景下直线的几何要素——“直线上的一个定点以及它的倾斜角”,而不是沿用平面几何中”两点确定唯一一条直线”.在明确了直线几何要素并在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来的前提下,已知直线￡经过点P（x,Y）且斜率为k,求此直线的方程实质就是将直线上所有点的坐标(x,y)满足的等量关系表示出来（代数化）.有了这两个方面的知识准备,解决直线综合问题的整体性思维水到渠成,几何眼光“看”有了“着眼点”,代数方法“算”有了“主心骨”.
高考注重数学思想方法的深度考查,其理论背景是：数学思维能力以观念作为桥梁来作用于数学思维过程,只有促进数学观念的发展,才能形成广泛的迁移,进而转化为数学能力.高水平的数学思维能力一定是以内涵深刻、丰富饱满的数学思想方法为灵魂.因此,在复习中提升学生数学观念的水平是提高其数学思维能力的关键举措.
1．着力挖掘体现学科思维特点的数学思想方法
例3解析几何中以直线与圆锥曲线位置关系为背景的综合问题
这类问题以曲线或轨迹,最值或范围,定点或定值,是否存在性等为主“形”,其特点是综合性强——代数、三角、几何、向量等融为一体,而且具有显著的动态性——提供的问题情境处于运动变化之中（多动点、动曲线）.面对问题综合性、动态性的挑战,复习中不能简单地搞一题一法,重复演练,应挖掘对解决解析几何综合问题具有全局性、指导性的观点：
(1)几何结构的深刻分析：其基本意义是变换图形的等价性质,挖掘隐含的几何性质,以便简化代数运算过程,这里体现的是几何直观的能力,是数形结合的重要一翼.
(2)动态过程的整体把握：主要是对解析几何动态性问题作一般性的分析,发掘问题中的不变性质,找到决定问题动态性的关键因素（点或线）,为几何问题代数化创造条件.
(3)多个参数的合理引入：参数是运动、变化的体现着,引人参数是几何问题的代数化的重要环节.解题实践也表明,如何合理引入参数,取决于体洞察与驾驭问题的能力.
(4)代数知识的自觉运用：主要是利用代数方法间接解决几何问题,方程与消元、变量与函数、转化与化归等思想方法在这里成为解决问题的“主角”.
学生掌握了上述观点,解决解析问题就能统揽全局,抓住关键,以不变应万变.
2．提高解题思想方法的层次
数学解题离不开具体的方法、技能、技巧,但若只停留在一招一式的技能操作层面,就会错过许多能够帮助学生建立数学观念的有利机会.例如,三角变换中有许多变形的方法和技巧,如升幂降幂,切弦互化,“1”的应用等.这些方法、技巧可以在某些具体问题中得到应用．但它不能作为三角变换的一般观念,更高层次的思想应建立三角变换的内在动因和主线索——差异渐缩.
(1)三角函数是以角为自变量的函数,因此,寻找问题中“角”的差异并由此探求角的变形,是实施三角变换的一条主线索.
(2)三角函数“名”的差异是三角函数的基本特征,所以,分析“名”的差异,寻找内在联系,促使统一,是处理三角函数问题的有效途径.
(3)无论是变“角”,还是变“名”,必然引起结构形式的变化,因此,捕捉“形”的差异信息,实施合理转化,是解决三角函数问题的必由之路.
当学生形成了三角变换“差异渐缩”的思想,解决三角函数问题就不会陷入一招一式的机械套路,层次较高,统摄性强的数学思想方法使学生站得高,看得深.
3注重解题过程的监控和信息反馈
对学生解题不只着眼于结果的正误,而要切实了解他们的思维过程以及思维受阻的原因,具体可以采用以下方式,如：讲解例题后的反思,考后的学生思路回顾,作 业错误原因探求等. 影响学生认知结构发展的不仅有知识、观念因素,还包括个体的思维结构和非智力因素等,这要求教师在复习教学中必须树立整体发展策略,把知识、观念、思维发展统一起来,把认知、情感、经验等协调起来,把教和学整合起来,这必将成为提升学生核心素养,提高数学教学质量的必由之路.
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