加权差异测度和模糊推理的鲁棒性分析,该文是关于推理论文怎么写与鲁棒性和鲁棒性分析和模糊推理有关毕业论文模板范文.
推理论文参考文献：
王龙,裴道武
(浙江理工大学理学院,杭州 310018)
摘 要: 针对差异测度概念的缺陷,提出了加权差异测度的概念.基于加权差异测度分析了模糊集运算的扰动性,给出了相应的扰动参数.进一步利用加权差异测度分析了模糊推理中两种重要方法的鲁棒性.这些研究结果推广了基于差异测度得出的相关结论,为模糊推理的鲁棒性分析提供了更多的依据.
关键词： 模糊推理；差异测度；鲁棒性；CRI算法；三I算法
中图分类号： TS195.644
文献标志码： A
文章编号： 1673\|3851 (2018) 01\|0120\|05
0引言
对于FMP(Fuzzy modus ponens)和FMT(Fuzzy modus tollens)这两种模糊推理形式,Zadeh［1］提出了合成推理算法(简称CRI算法).鉴于CRI算法缺乏严格的逻辑基础,王国俊［2］提出了全蕴涵三I算法(简称三I算法).Ying等［3］提出了模糊集最大扰动和平均扰动的概念,分析了模糊推理算法的最大和平均扰动参数.戴松松等［4］提出了相对扰动的概念,并利用相对扰动的概念分析了CRI算法的鲁棒性.Wang等［5］比较了由不同类型测度诱导的δ等价的概念.Jin等［6］也研究了基于逻辑等价测度模糊集的扰动.
Montes等［7］提出了一种差异函数的概念来度量模糊集之间的距离.之后,Li等［8］基于不相似函数和模糊等价提出了两种构造差异测度的方法.在这两种构造差异测度的基础上,Li等［9］用不相似函数构造出差异测度的公式,并延拓了模糊集之间的扰动性,分析了CRI算法的鲁棒性.但在实际应用过程中可以发现,Li等［9］构造出的差异测度并不能充分地利用所有的信息,即会导致部分信息的缺失.针对这一问题,本文提出了加权差异测度的概念,并与已有的差异测度概念作了比较.同时,在加权差异测度的基础上,研究了CRI算法和三I算法的鲁棒性.本文推广了文献［9］中的相关结论.
1加权差异测度
本文中,X表示论域,论域X上所有分明集组成的集合记作P(X),论域X上的所有模糊集组成的集合记作F(X).
映射I：［0,1］2→［0,1］称为模糊蕴涵,简称蕴涵,如果I关于第一变元不增,第二变元不减,且满足I(0,0)等于I(0,1)等于I(1,1)等于1和I(1,0)等于0.文献中I(x,y)也简写为x→y,其中x,y∈［0,1］.
映射T：［0,1］2→［0,1］称为t模,如果T是结合的,交换的,单调的,并且满足条件T(1,a)等于a(0≤a≤1).t模T是左连续的,如果T(a,supxi)等于supT(a,xi),i∈E成立,这里E为任意指标集,xi∈［0,1］.
t模T的剩余是函数R：［0,1］2→［0,1］,对x,y∈［0,1］,R(x,y)等于sup{α∈［0,1］|T(x,α)≤y}.t模的剩余是蕴涵,称为R蕴涵.t模T的双剩余是函数ET：［0,1］2→［0,1］,对x,y∈［0,1］,ET(x,y)等于min(R(x,y),R(y,x)).
下述差异测度的概念是本文重点关注的内容.
定义1［8］函数D：F(X)×F(X)→［0,∞)称为差异测度,如果D满足以下条件:
(D1) D(A,B)等于D(B,A)对任意A,B∈F(X)；
(D2) D(A,A)等于0对任意A∈F(X)；
(D3) 对任意A,B,C∈F(X),如果ABC,则max(D(A,B),D(B,C))≤D(A,C)；
(D4) D(A,B)≤D(P,Pc)对任意A,B∈F(X),P∈P(X),其中Pc表示P的补集.
定义2［9］二元函数d：［0,1］2→［0,1］称为不相似函数,如果d满足以下条件：
(d1) d(x,y)等于d(y,x),x,y∈［0,1］；
(d2) d(x,x)等于0,x∈［0,1］；
(d3) d(1,0)等于1；
(d4) 对任意x,y,z∈［0,1］,如果x≤y≤z,则max(d(x,y),d(y,z))≤d(x,z).
如果由t模T的双剩余ET按照dT等于1-ET诱导的不相似函数dT是［0,1］上的度量,文献中称dT为DF度量［9］.
命题3［9］设论域X等于{x1,x2,…,xn},d为不相似函数,对任意A,B∈F(X),定义D如下：
D(A,B)等于a∑ni等于1d(A(xi),B(xi))nb+(a－b)∑ni等于1d(A(xi),B(xi)),
其中ɑ>0,b>0,则D是一个差异测度.
上式可以改写为
D(A,B)等于a1n∑ni等于1d(A(xi),B(xi))b+(a－b)1n∑ni等于1d(A(xi),B(xi)).
由上式可以看出,D实际上是对d(A(xi),B(xi))的每一项权重均取1/n的一个函数,因此在实际应用中有一定局限性.为了弥补这个缺陷,下面本文对其作适当推广.
命题4设论域X等于{x1,x2,…,xn},d为不相似函数,(ω1,ω2,…,ωn)为权重向量,对任意A,B∈F(X),定义D1如下：
D1(A,B)等于a∑ni等于1ωid(A(xi),B(xi))b+(a－b)∑ni等于1ωid(A(xi),B(xi)),
其中ɑ>0,b>0,则D1是一个差异测度.
证明：很明显D1满足条件(D1)和(D2).下证D1满足条件(D3),(D4).考虑函数
f(t)等于atb+(a－b)t(t>0).
那么由
f′(t)等于ab(b+(a－b)t)2>0
知函数f(t)单调递增.如果ABC,即A(xi)≤B(xi)≤C(xi),xi∈X,那么则有
0≤∑ni等于1ωid(A(xi),B(xi))≤∑ni等于1ωid(A(xi),C(xi)).
故由函数f(t)的单调性和f(0)等于0知,D1(A,B)≤D1(A,C),同理可证D1(B,C)≤D1(A,C),即D1满足条件(D3).又因为∑ni等于1ωid(A(xi),B(xi))≤∑ni等于1ωid(P(xi),Pc(xi)),则由函数f(t)的单调性知,D1(A,B)≤D1(P,Pc),即证D1满足条件(D4).证毕.
在本文以下的部分中,称由命题4给出的差异测度D1为加权差异测度.
由D1的定义可以看出,加权差异测度是差异测度的推广.
又,当ɑ等于b时,D1简化为
D1(A,B)等于∑ni等于1ωid(A(xi),B(xi)).
如果dT等于1-ET,那么1－D1(A,B)等于∑ni等于1ωiET(A(xi),B(xi))为A和B加权逻辑相似度,这里逻辑相似度的相关概念见文献［6］.在下文中,A≈(ε)B表示D1(A,B)≤ε.
2模糊运算与模糊推理的鲁棒性分析
对于模糊集合之间的运算,有如下结论成立.
定理5设T是t模,R和ET分别是T的剩余和双剩余,dT是由ET诱导的不相似函数.假设dT是DF度量,D1是命题4给出的加权差异测度.若A≈(ε1)A1,B≈(ε2)B1,则AB≈(λ)A1B1,这里∈{∪,∩,T,R},且
λ等于mina2(ε1+ε2)－2a(a－b)ε1ε2a2－(a－b)2ε1ε2,1.
证明：由A≈(ε1)A1,B≈(ε2)B1可得：
D1(A,A1)等于a∑ni等于1ωidT(A(xi),A1(xi))b+(a－b)∑ni等于1ωidT(A(xi),A1(xi))≤ε1,
D1(B,B1)等于a∑ni等于1ωidT(B(xi),B1(xi))b+(a－b)∑ni等于1ωidT(B(xi),B1(xi))≤ε2,
因此有,
∑ni等于1ωidT(A(xi),A1(xi))≤bε1a－(a－b)ε1,
∑ni等于1ωidT(B(xi),B1(xi))≤bε2a－(a－b)ε2.
又因为dT(AB(xi),A1B1(xi))≤dT(A(xi),A1(xi))+dT(B(xi),B1(xi))(见文献［9］),则
∑ni等于1ωidT(AB(xi),A1B1(xi))≤
∑ni等于1ωi(dT(A(xi),A1(xi))+dT(B(xi),B1(xi)))≤
∑ni等于1ωidT(A(xi),A1(xi))+∑ni等于1ωidT(B(xi),B1(xi))≤
bε1a－(a－b)ε1+bε2a－(a－b)ε2.
由函数f(t)的单调性知,
D1(AB(xi),A1B1(xi))等于
a∑ni－1ωidT(AB(xi),A1B1(xi))b+(a－b)∑ni等于1ωidT(AB(xi),A1B1(xi))≤
abε1a－(a－b)ε1+bε2a－(a－b)ε2b+(a－b)bε1a－(a－b)ε1+bε2a－(a－b)ε2≤
a2(ε1+ε2)－2a(a－b)ε1ε2a2－(a－b)2ε1ε2.
注意到,D1(AB(xi),A1B1(xi))≤1,故有
D1(AB(xi),A1B1(xi))≤
mina2(ε1+ε2)－2a(a－b)ε1ε2a2－(a－b)2ε1ε2,1.
证毕.
关于模糊推理两种算法(CRI算法和三I算法)及其FMP型解和FMT型解的具体介绍请参阅文献［12］.
对于CRI算法的鲁棒性分析,有如下结论：
定理6设T是t模,R和ET分别是T的剩余和双剩余,dT是DF度量,D1是命题4给出的加权差异测度.如果A1≈(ε1)A2,B1≈(ε2)B2,A′1≈(ε3)A′2,B′1和B′2分别是CRI算法FMP型解,则有B′1≈minam1b+(a－b)m1,1B′2,其中
m1等于∑ni等于1dT(A′1(xi),A′2(xi))+
∑ni等于1dT(A1(xi),A2(xi))+nbε2a－(a－b)ε2.
证明：因为A1≈(ε1)A2,B1≈(ε2)B2,A′1≈(ε3)A′2,则有：
D1(A1,A2)等于a∑ni等于1ωidT(A1(xi),A2(xi))b+(a－b)∑ni等于1ωidT(A1(xi),A2(xi))≤ε1,
D1(B1,B2)等于a∑mj等于1βjdT(B1(yj),B2(yj))b+(a－b)∑mj等于1βjdT(B1(yj),B2(yj))≤ε2,
D1(A′1,A′2)等于a∑ni等于1ωidT(A′1(xi),A′2(xi))b+(a－b)∑ni等于1ωidT(A′1(xi),A′2(xi))≤ε3,
其中∑ni等于1ωi等于1,∑mj等于1βj等于1.因此得：
∑ni等于1ωidT(A1(xi),A2(xi))≤bε1a－(a－b)ε1,
∑mj等于1βjdT(B1(yj),B2(yj))≤bε2a－(a－b)ε2,
∑ni等于1ωidT(A′1(xi),A′2(xi))≤bε3a－(a－b)ε3.
又因为
∑mj等于1βjdT(B′1(yj),B′2(yj))等于
∑mj等于1βjdT(∨ni等于1T(A′1(xi),R(A1(xi),B1(yj))),
∨ni等于1T(A′2(xi),R(A2(xi),B2(yj))))≤
∑mj等于1βj∑ni等于1dT(T(A′1(xi),R(A1(xi),B1(yj))),
T(A′2(xi),R(A2(xi),B2(yj))))≤
∑mj等于1∑ni等于1βj［dT(A′1(xi),A′2(xi))+
dT(A1(xi),A2(xi))+dT(B1(yj),B2(yj))］≤
∑ni等于1dT(A′1(xi),A′2(xi))+
∑ni等于1dT(A1(xi),A2(xi))+nbε2a－(a－b)ε2.
再由函数f(t)等于atb+(a－b)t的单调性得：
D1(B′1,B′2)等于a∑mj等于1βjdT(B′1(yj),B′2(yj))b+(a－b)∑mj等于1βjdT(B′1(yj),B′2(yj))
≤am1b+(a－b)m1,
其中
m1等于∑ni等于1dT(A′1(xi),A′2(xi))+
∑ni等于1dT(A1(xi),A2(xi))+nbε2a－(a－b)ε2.
证毕.
仿照定理6的证明过程,对于CRI算法的FMT型解的鲁棒性,可得如下结论.
定理7设T是t模,R和ET分别是T的剩余和双剩余,dT是DF度量,D1是命题4定义的加权差异测度.如果A1≈(ε1)A2,B1≈(ε2)B2,B′1≈(ε3)B′2,A′1和A′2分别为CRI算法FMT型的解,则有A′1≈minam2b+(a－b)m2,1A′2,其中
m2等于∑mj等于1dT(B′1(yj),B′2(yj))+
∑mj等于1dT(B1(yj),B2(yj))+mbε1a－(a－b)ε1.
可以看出,定理5中扰动参数λ的值与文献［9］中命题7的扰动参数值相等,定理6和定理7是［9］中相应结论的推广.
三I算法作为CRI算法的改进,其鲁棒性分析有如下结论.
定理8设T是左连续t模,R是T诱导的剩余蕴涵,ET是T的双剩余,dT是DF度量,D1是命题4定义的加权差异测度.如果A1≈(ε1)A2,B1≈(ε2)B2,A′1≈(ε3)A′2,B′1和B′2分别为三I算法FMP型的解,则有B′1≈minam3b+(a－b)m3,1B′2,其中
m3等于∑ni等于1dT(A′1(xi),A′2(xi))+
∑ni等于1dT(A1(xi),A(xi))+nbε2a－(a－b)ε2.
定理9设T是左连续t模,R是由T诱导的剩余蕴涵,ET是T的双剩余,dT是DF度量,D1是命题4定义的加权差异测度.如果A1≈(ε1)A2,B1≈(ε2)B2,B′1≈(ε3)B′2,A′1和A′2分别为三I算法FMT型的解,则有A′1≈minam4b+(a－b)m4,1A′2,其中
m4等于∑mj等于1dT(B′1(yj),B′2(yj))+
∑mj等于1dT(B1(yj),B2(yj))+mbε1a－(a－b)ε1.
由于定理7—9的证明和定理6的证明类似,所以略去定理7—9的证明过程.
3结论
本文在差异测度的基础上,提出了加权差异测度的概念,以满足解决实际问题的需要.然后,从模糊集之间运算的扰动和模糊推理的鲁棒性这两个方面,分析了基于加权差异测度产生的模糊集运算的扰动性态和模糊推理的鲁棒性.本文的研究结果推广了文献［9］中的对应结论,使得人们在应用这些结论时具有更多的合理选择.
在未来的工作中,我们将对加权差异测度的概念和相似度等概念进行统一处理,并从加权差异测度入手,讨论其他模糊推理算法的鲁棒性.
参考文献：
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Weighted difference measure and robustness analysis of fuzzy reasoning
WANG Long, PEI Daowu
(School of Sciences, Zhejiang SciTech University, Hangzhou 310018, China)
Abstract： For the defect of difference measure concept, the concept of weighted difference measure is proposed. Based on the weighted difference measure, perturbations of fuzzy set operations are analyzed, and the corresponding perturbation parameters are given. Furthermore, the robustness of two important methods in fuzzy reasoning is analyzed by using the weighted difference measure. These conclusions generalize the conclusions based on the difference measure and provide a basis for the robustness analysis of fuzzy reasoning.
Key words： fuzzy reasoning; difference measure; robustness; CRI algorithm; triple I algorithm
(责任编辑： 康锋)
归纳总结:该文是关于鲁棒性和鲁棒性分析和模糊推理方面的推理论文题目、论文提纲、推理论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文.
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