运用面积巧解初中数学几何题,本文是数学几何硕士毕业论文范文跟初中数学和巧解和几何方面硕士毕业论文范文.
数学几何论文参考文献：
摘 要平面几何中图形部分面积之和等于总面积,或把面积的比转化为线段的比或比的平方去求解.
关键词面积线段比转化
引言：用面积来解决平面几何相关的问题其主要有两类.其一是等积法.根据题中图形面积之间的内在联系,用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系,从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系,并通过图形面积的等积变换对所求问题来进行求解的方法.核心是找到图形面积之间的内在联系,用面积或面积之间的关系建立相等数量之间的关系.关键是等量关系的建立.通常是部分面积之和等于总面积.其二是把面积的比转化为线段的比或线段比的平方.当两个三角形的底或高相同或相等时,面积的比就可直接转化为高或者底的比.当两个三角形相似或者位似时,这两个三角形的面积比又可以转化为相似比的平方.现在的中考数学试题中经常会出现用面积的方法去证明或求解,当试题中若出现高,垂直,距离以及相似、位似等字眼时,我们不妨可以思考用面积的方法尝试解答,从而提高解题的准确性和实效性.
初中数学有一部分几何证明题和解答题,若用面积法或构建面积相关等量去求解,不但准确率很高,而且解答显得很巧妙,既省时又高效.面积法是指构建面积等量关系的方程模式.即对于同一个几何平面图形,用不同的面积计算方法从而建立方程.其核心是方程左右两边对同一个平面几何图形面积的描述往往从不同的思路或角度切入,把要求解的未知元素贯穿在面积表达式中从而形成方程.常见的基本做法是左右两边可按总算、部分相加构成.另一类几何题则可以转化面积的比,等于线段的比或线段的比的平方,从而使求解的问题得到解决.这一类型的试题在近几年中考中多有出现.由于学生平时用面积来思考或作答的思维训练强化的少,意识不够强,往往想不到用面积来作答.所以就显得此类题难度增大,导致较高的丢分情况发生.笔者结合从事初中二十多年的数学教学,不难发现,用面积法解决平面几何图形一些问题显得尤为重要.用面积法来解决的数学问题在教材和中考试题只中越来越多.笔者总结情况以后有以下几点体会.
1 面积的比与线段比之间互相转化
1.1 面积的比等于线段的比
因此A 点到BC 的距离就是△ABD 和△ADC 的边BD 和DC 边上的高,即是同高.又因为中线所以BD等于DC.所以△ABD的面积与△ADC面积的算式中是等底同高,所以面积相等.此时,面积的比就等于底的比.若底相等则得到面积相等,反之成立.若底不相等,则面积之比就等于底的比,反之成立.结论：三角形中线等分三角形面积.
延伸：当两三角形的底相同（相等）或高相同（相等）时,此时两三角形的面积比就可转化为线段的比（高的比或底的比）.
例题1.梯形ABCD 中,AD//BC,两对角线AC、BD 交于O点.求证三角形AOD 的面积与三角形DOC 的比等于线段AO与OC的比.
解法：设D 点到AC 的距离为h, 则h 为△ABO 的边AO上的高,同时又是△DOC 的边OC上的高.于是,S△ABO等于AO·h,S△DOC等于OC·h,所以S△ABO：S△DOC等于AO：OC.
运用例题：
沪科版初中数学九年级上册第72 面第10 题：三角形ABC 中,AD 为角平分线交BC于D 点.求证AB ：AC等于 BD ：DC.
面积解法：分别从D 点做DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F,垂足分别为E、F.
因为AD 为∠BAC 平分线,且DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线上的点到角两边距离相等可得到DE等于DF.
S△ABD：S△ADC等于AB·DE：AC·DF等于AB：AC
又设点A 到BC 边上的高为h,则有S△ABD：S△ADC等于BD·h：
DC·h等于BD：DC
所以AB：AC等于 BD：DC
1.2 面积的比可转化为线段的比的平方
此类问题多见于相似三角形.根据相似三角形的性质我们知道,相似三角形的面积比等于相似比的平方.
示例题：△ABC 中,点D、E 分别是AB、AC 边中点.问题：△ADE 与△ABC 的面积比是多少？
探究发现：因为点D、E 分别是AB、AC 边中点,所以DE为△ABC 的中位线.根据三角形中位线的性质定理可得：DE//BC,DE等于BC.因为DE//BC,所以△ADE 相似于△ABC.因此S△ADE：S△ABC的比就等于相似比的平方.即等于(DE：BC)2等于 .
运用例题：△ABC 中,点M、E 在AB 边上,点N、F 在AC 边上,MN//EF//BC.若S△AMN：S 四边形MNFE：S 四边形BCFE等于1：3：5.求MN：EF：BC 的值.
解答：因为S△AMN：S 四边形MNFE：S 四边形BCFE等于1：3：5,可设S△AMN等于a,S 四边形MNFE等于3a,S 四边形BCFE等于5a.
所以S△AMN：S△AEF：S△ABC等于a：（a+3a）：（a+3a+5a）等于1：4：9.又因为MN//EF//BC,所以△AMN∽△AEF∽△ABC.根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得,相似比等于面积比的算术平方根.即MN：EF：BC等于1：2：3.
小结：当两个三角形的底或高相同或相等时,面积的比就可直接转化为高或者底的比.
2 构造面积相等的方法具体运用
面积法是指构建面积等量关系的方程模式.即对于同一个平面图形,用不同的面积计算方法从而建立方程.其核心是方程左右两边对同一个平面几何图形面积的描述往往从不同的思路或角度切入,把要求解的未知元素贯穿在面积表达式中从而形成方程.常见的基本做法是左右两边可按总算、部分相加构成.
用等积法构建方程的左右两边为总分式.
示例：直角三角形ABC 中,∠C等于90°,⊙O 是其内切圆,切点分别为点D、E、F,AB等于c BC等于a AC等于b.求证：⊙O 的半径r等于 .
证明：从圆心O 分别做三边的切线的垂线,连接AO、BO、CO.
因为直角三角形所以S△ABC等于ab.显然,三角形ABC 的面积可以分解△ABO、△ACO、△BCO 三部分面积相加.所以S△ABC等于S△ABO+S△ACO+S△BCO.
即ab等于ar+br+cr, 化简后得到：ab等于ar+br+cr,（a+b+c）r等于ab,所以⊙O 的半径r等于 .
运用例题一：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.
分析：当一个三角形确定后,其边长、周长、面积都应该是固定不变的.而对于等边三角形来说,其各边的高、中线以及角平分线都重合相等,也是定值.任意一点到三边的距离就可认为是三个三角形的高.所以可设其边长为a,其高为h,用面积的方法去构造方程得到解决.
已知：等边三角形ABC,O 为其内任意一点,OE、OD、OF 分别垂直于AC、BC、AC,垂足分别为E、D、F.求证：O 点到三边的距离之和为定值.
解：设等边三角形ABC 的边长为a,高为h.到三边的距离分别为OE等于h1,OD等于h2,OF等于h3.由图形可知：S△ABC等于S△ABO+S△ACO+S△BCO
BC·h.等于AB·OF+AC·OE+BC·OD,ah等于ah1+bh3+ch2, 化简得h1+h3+h2等于h.因为等边三角形的高在具体的图形中固定不变,为定值.所以等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于高）.
运用例题二：矩形ABCD 中,AB等于8 BC等于6,P 是DC 边上一动点（不与C、D 重合）,PE、PF 为P 点到对角线AC、BD 的距离.求PE+PF 的值
小结：此题解答中不难看出,平行四边形（矩形、菱形、正方形）的对角线将其面积分成相等的两部分,分成的四小部分面积也相等.然后通过两部分面积的和等于总面积建立方程,把要求解决的问题用代数式表示在方程中从而求解.
总之,用面积来解决相关的平面几何问题其主要有两类.其一是等积法.根据题中图形面积之间的内在联系,用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系,从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系,并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法.核心是找到图形面积之间的内在联系,用面积或面积之间的关系建立相等的关系.关键是等量关系的建立.通常是部分面积之和等于总面积.其二是把面积的比转化为线段的比或线段比的平方.当两个三角形的底或高相同或相等时,面积的比就可直接转化为高或者底的比.当两个三角形相似或者位似时,连个三角形的面积比又可以转化为相似比的平方.现在的中考数学试题中经常会出现用面积的方法去证明或求解,当试题中若出现高,垂直,距离以及相似、位似等字眼时,我们不妨可以思考用面积的方法尝试解答,或许收到意想不到的结果,更好地提高解题的准确性和实效性.
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