极值和最值在实际问题中的应用,本文是极值与最值在方面自考毕业论文范文与极值和实际问题和应用方面开题报告范文.
极值与最值在论文参考文献：
随着科技发展的日新月异,科学实验、工程技术、经济管理等许多领域都出现有“如何使花费最少,而收益最大”的问题,特别是企业部门要解决“优质、高产、低耗”问题,都直接关系着经济效益的高低.实践中,这类问题通常归结为在一定条件下求一个函数的极值与最值问题.1．极值与最值的概念
极值问题是函数研究中的重要问题,它在数学自身和数学以外的应用领域都是十分重要的,不仅在自然科学与工程技术中,甚至在经济管理、金融等领域,极值问题都是普遍存在的.如在各种最优化问题中,其最终的目的就是求其目标函数的极值.极值一般分为严格极值和弱极值,下文以谈论严格极值为主.
与一元函数有所不同的是,多元函数极值问题分为两类：无条件极值与条件极值.下面的讨论中以二元函数为主,因为从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推.
所谓的条件极值问题,是指多元函数在自变量满足一定的约束条件下的极值问题.在实际生活中,常见的是二元函数的极值,下面讨论中,主要以二元函数为主.
在上述定义中极大值、极小值统称极值.极大值点、极小值点统称极值点.还应该注意到并非每一个实数值函数都有极值.例如定义在上的非零线性函数就没有极值.
1.2 最值的概念.实际生活中,常遇到求“产量最大”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题,企业常考虑用最低的成本获取最高的利润,这是一类常见优化问题,即求函数最值.
2．极值与最值的关系
极值和最值是两个密切相关的概念,它们之间既有区别又有联系.极值与最值都是通过函数值的比较来定义的,只是相对比较的范围大不同而已.
2.1极值与最值的联系.有的实际问题,运用优化原理求最值的问题即是求极值问题,有时极值和最值是可以互换的.如果根据实际意义知道有最值,在这种情况下不必具体验证极值是极大值还是极小值.
一元函数中,如果函数f(x)在区间I（可以是闭的、开的、半开半闭的,又穷或无穷的）上只有唯一的极值,该极值是极大（小）值,则该极大（小）值必是最大（小）值.
导数最重要的一个作用就是求函数的极值,在求实际问题时,如函数,(x)在定义区间内部只有一个驻点,而最值又存在,则可根据实际意义知道,(xo)是所求的最值.有的时候要求函数的最值是要借助函数的极值,求最值的时候先在定义域内找出f(x)等于0的根,即所求的根就是极值点,最后借助极值点求最值.
2.2极值与最值的区别.极值是一个局部的概念,最值是一个整体性概念.极值仅是某个“小”范围（某点的邻域）内的最值,但不一定是所讨论的整个最“大”区间的最值.一个函数在整个区间上可能有许多极值,并且不一定所有的极大值都大于所有的极小值,然而最大值、最小值都分别只有一个.最大（最小）值若在区间内取得,那么必须同时是极大（极小）值,但最值也可能在区间端点取得,特别是当函数在整个区间上单调时,这时没有极值,最值却在区间端点处取得.
3．极值与最值在实际问题中的应用
如何将一个实际问题转化为数学问题？即所谓的“数学建模”,这是一个难点问题.在实际背景或有实际意义的数学问题中,强调数学的应用和培养学生的数学意识.
例1:-公司生产某种商品,其年销售为万件,每生产一批商品需增加准备费元.商品库存费为每件元,如果年销售率是均匀的且上批销售完后立即生产下一批（此时商品库存数为批量的一半）问分几批生产,才能使生产准备费及库存费之和最小？
解析：这是公司用最低的成本赚取最大利润的数学模型,先建立一个函数模型,设分x批生产,生产准备费即库存费之和为y,有题意可以得到函数模型：
例2：在我国西部某一地区,有四个农庄A、B、C、D恰好坐落在边长为2Km的正方形的顶点上,为发展经济,政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网,道路网由一条中心道及四条支道组成,要求四条支道的长度相等(如图1).试问：
(1)若道路网总长度不超过5．5Km,试求中心道长的取值范围；
(2)问中心道长为何值时,道路网总长度最短？
分析：这是一道解决现实生活中的最值问题,而应用求函数的最值解决实际问题的一般步骤为：
1．建立函数关系式；
2．求出函数的最值．
例3：设计一个容量为V的长方形开口水箱,试问水箱的长、宽、高各等于多少时,其表面积最小？
分析：已知长方形开口水箱的容量,要求其表面积最小,只需知道他的长、宽、高．
例5：某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种产品的广告,根据统计资料,销售收入R（万元）与电台广告费用z（万元）及报纸广告费用y(万元)之间的关系有经验公式：R等于15十14x十32y-8xy-2x2-lO y2.
(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；
(2)如果提供广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略,
解(1)因利润L等于收益R与成本之差,故利润函数为：
(2)在广告费用只有1.5万元的情况下,这是求利润的函数L在约束条件x+y一1.5（万元）下的条件极值问题,利用拉格朗日乘数法作辅助函数
例6：某奶牛场每天每头牛至少需要：蛋白质700克,矿物质30克,维生素1克,现有五种饲料可供选择,各饲料每公斤所含营养成分及单价如下（表三）：
结束语
通过对极值与最值问题的研究,要求学生掌握极值与最值的判定和求法．在实践中,这需要我们灵活的建立函数关系,利用极值与最值的理论知识解决问题,既解决了实际问题,又加深了对数学理论知识的理解,同时提升了对实际问题的分析能力,培养了学生的实践能力.
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