关于等比数列和等差数列的两个命题,本文是关于数列类论文怎么写与等比数列和等差数列和命题方面学士学位论文范文.
数列论文参考文献：
高职教材中有这样一个例题：已知无穷数列
求证：（1）这个数列是等比数列；
（2）这个数列中任意一项是它后面第5项的1/10；
（3）这个数列中任意两项之积仍然在这个数列中.
教完这个例题后,很容易提出下面的问题,是否任意一个等比数列都具有性质:数列中的任二项之积仍是这个数列中的项？
经过思考,大多数学生都能举出反例.如在等比数列｛an｝中,a1等于3,q等于2,或a1等于2,q等于-1/2,等.这就说明不是任意一个等比数列都具有这一性质.
那么,怎样的等比数列才具有所述性质呢？
注意到开头所提列题中a1等于1,经过思考,有的学生提出命题：“若等比数列｛an｝中,a1等于1而公比q为任意非零实数,则｛an｝中任二项之积仍是这个数列中的项.”并很容易地给出了证明.
至此,问题并未彻底解决.“a1等于1,q为非零实数”仅是等比数列｛an｝具有性质“数列中任二项之积仍是这个数列中的项”的充分条件,而非必要条件.如在等比数列｛an｝中,取a1等于8,q等于2,则此数列也具有上述性质.
笔者经过研究,提出一个等比数列具有上述性质的充要条件.
命题1：一个公比为q的等比数列｛an｝中任二项之积仍是这个数列中的项的充要条件是：存在非负整数m,使得a1等于qm.
证 充分性：若存在非负整数m,使得a1等于qm,则
an等于a1qn-1等于qm·qn-1
在｛an｝中任取二项ak、al,k、l N,则
ak·al等于qk+ （m-1）·ql+（m-1）等于q（k+l+m-1）+（m-1）
由于k,l∈N,m为非负整数,故k+1+m-1∈N,从而有a（k+l+m-1）等于q（k+l+m-1）+（m-1）.
∴ak·al等于a（k+l+m-1）
即等比数列｛an｝中任二项之积仍是这个数列中的项.
必要性：设等比数列｛an｝中任二项之积仍是这个数列中的项.由于an等于a1qn-1,n∈N,
在｛an｝中任取二项ak、al,k,l∈N,则
akal等于a1qk-1·alql-1等于a2lq（k+l-2）
设e∈N使 ak｜al等于ae,则
a21q（k+l-2）等于a1qe-1.
由于a1≠0,q≠0,故有
a1等于q（e-1）-（k+l-2）等于q（e+1）-（k+l）
记m等于（e+1）-（k+l）,则a1等于qm,m显然为整数.
若q等于1,则a1等于1m等于1,此时数列｛an｝为1,1,1,…1,1…,
整数m当然可取为任意非负整数.即此时存在非负整数m使a1等于qm.
若q≠1,我们用反证法来证明：整数m必为非负整数.
假设m∈Z,-m∈N.
∵a1等于qm,
∴an等于a1qn-1等于qm
qn-1等于qn+（m-1）,e∈N,
从而a（-m）等于q-m+（m-1）
∴a1a（-m）等于q（m-1）.
设a1a（-m）等于ap,这里p∈N,则q（m-1）等于qp+（m-1）.
由于q≠0,所以qp等于1,又知q≠1,故必有p等于0,这与p∈N矛盾.所以m为非负整数.
证完命题1后,考虑到等差数列与等比数列在结构上的某种类似,容易猜想出关于等差数列的性质.
命题2 一个公差为d的等差数列｛an｝中,任二项之和仍是这个数列中的项的充要条件是：存在非负整数m,使得a1等于md
证 充分性：若存在非负整数m,使得a1等于md,则
an等于a1+（n-1）d等于md+（n-1）d等于［n+（m-1）］d,n
在｛an｝中任取二项ak、al,k、l e N,则
ak+al等于［k+（m-1）］d+［l+（m-1）］d等于［（k+l+m-1）+（m-1）］d,
由于k,l∈N,m为非负整数,所以k+l+m-1∈N,于是有
a（k+l+m-1）等于［（k+l+m-1）+（m-1）］d
∴ak+al等于a（k+l+m-1）.
即这时｛an｝中任二项之和仍是这个数列的中项.
必要性：在等差数列｛an｝中任取二项ak、al,k、l∈N,则
ak等于a1+（k-1）d,
ak等于a1+（l-1）d,
∴ak+al等于2a1+（k+l-2）d.
设ak+al等于ae,e∈N,则
2a1+（k+l-2）d等于a1+（e-1）d,
∴a1等于（e+1-k-l）d.
记m等于e+1-k-l,则a1等于md,m显然为整数.
若d等于0,则a1等于0,此时等差数列｛an｝为0,0,0,…,0,…,此时m可取为任意非负整数.
若d≠0,我们用反证法证明：整数m必为非负整数.
假设m∈Z-,则-m∈N
∵a1等于md, ∴对于n∈N有
an等于md+（n-1）d等于［n+（m-1）］d.
于是a（-m）等于［（-m）+(m-1）］d.
∴a1+a（-m）等于（m-1）d.
由于已知等差数列｛an｝中任二项之和仍是这个数列中的项,故存在P∈N使得
a1+a（-m）等于ap,
∴（m-1）d等于［p+（m-1）］ｄ,
∴pd等于0.
而d≠0,故有p等于0,这与p N,
矛盾.这就证明了m必为非负整数.
命题1和命题2及其证明很适宜作为高职学生数学课外活动的训练材料.特别是命题的发现过程,体现了由于特殊到一般,由简单到复杂,由感性到理性的认识发展过程,体现了联想、类比、一般化等数学手法.也是深入挖掘课本所蕴含的智能因素,培养学生发散思维能力的一个典型范例.笔者认为,教师若能深入挖掘教材所蕴含的智能因素,并经常在这方面做出示范,将有利于引导学生深钻课本,有利于学生发散思维能力的培养,有利于最大限额地发挥课本的作用.
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